Black Hole Photon Rings Beyond General Relativity
Heeft Einstein gelijk wat zwarte gaten betreft?
Einsteins theorie over de zwaartekracht voorspelt het bestaan van zwarte gaten. Dit zijn mysterieuze objecten, die zich net als sterren overal in het Universum bevinden. Sinds tientallen jaren denken theoretische fysici echter dat Einsteins beschrijving van de zwaartekracht niet perfect is en zijn ze op zoek naar wat er dan ontbreekt. Bijgevolg zien zwarte gaten er mogelijks anders uit dan oorspronkelijk gedacht. In mijn thesis ben ik op zoek gegaan naar wat beelden van zwarte gaten ons kunnen vertellen over zwaartekracht, licht en het Universum.
Zwarte gaten
Iets meer dan 100 jaar geleden publiceerde Albert Einstein zijn theorie van Algemene Relativiteit (AR). Deze beschrijving van de zwaartekracht combineert onze 3-dimensionale wereld samen met de tijd in een 4-dimensionale ruimtetijd. De ingewikkelde fysica en wiskunde achter deze theorie hebben echter grote gevolgen. Zo presenteerde Karl Schwarzschild een jaar na het verschijnen van AR een opmerkelijk resultaat: een zwart gat. Dit object past volledig in de theorie die Einstein heeft gepubliceerd, maar heeft enkele opmerkelijke eigenschappen. Zo is een zwart gat bijvoorbeeld omringd door een horizon, waar de zwaartekracht enorm sterk is. Eender wat deze grens overschrijdt, zelfs licht, wordt onherroepelijk opgeslokt door het zwart gat. Aangezien licht niet kan ontsnappen aan het zwart gat, eens het voorbij de horizon is, zien we dit zwart gat niet rechtstreeks. We zien enkel een zwarte schaduw waar al het licht verdwenen is.
Gelukkig kunnen we zwarte gaten wel op enkele indirecte manieren observeren. Lichtstralen kunnen nog ontsnappen aan het zwart gat zolang ze niet voorbij de horizon gaan. Licht dat dichtbij de horizon komt, maar er niet voorbijgaat, voelt wel de sterke zwaartekracht. Een gevolg van AR is dat licht in deze extreme omstandigheden sterk afgebogen wordt. Waar licht normaal gezien rechtdoor gaat (bv. bij het schijnen van een zaklamp), wordt een lichtstraal afgebogen dicht bij de horizon van een zwart gat. Dit is te vergelijken met licht dat vervormd wordt als het door gebogen glas gaat. Het gevolg is dat we rond de schaduw van een zwart gat vaak afgebogen licht kunnen zien, met vreemde visuele effecten als gevolg. Door met telescopen op zoek te gaan naar deze lichteffecten zijn er intussen al vele zwarte gaten gevonden in het Universum.
De Event Horizon Telescope
Het is echter nog maar sinds kort mogelijk om gedetailleerde observaties te doen van zwarte gaten. De meest interessante details en effecten spelen zich af rond de horizon en wetenschappers zouden dus met telescopen willen kijken naar zwarte gaten op deze horizonschaal. Aangezien zwarte gaten erg ver van de Aarde staan, moeten de telescopen enorm kleine details kunnen onderscheiden. Dit vereist telescopen met een erg hoge resolutie (=hoe goed een telescoop details kan onderscheiden). Deze resolutie wordt beter naarmate de telescoop groter is. Om foto’s van zwarte gaten te nemen op de horizonschaal is er echter een ongelooflijk hoge resolutie nodig, waarvoor we een telescoop ter grootte van de Aarde zouden nodig hebben. Niet echt haalbaar dus…
… Of wel? De wetenschappers achter de Event Horizon Telescope (EHT) hebben een methode ontwikkeld om verschillende telescopen, verspreid over heel de wereld, op een speciale manier te laten samenwerken. Zo zijn ze er in geslaagd om een ‘effectieve telescoop’ te krijgen, zo groot als de Aarde. In 2019 hebben ze de eerste foto gepubliceerd van een zwart gat op de horizonschaal. Het betreft een zwart gat met een massa van maar liefst 6 miljard Zonnen. In 2022 heeft dezelfde groep ook resultaten gepubliceerd over hun foto’s van het zwart gat in het centrum van ons eigen Melkwegstelsel. De resolutie van deze foto’s? Die is vergelijkbaar met het fotograferen van een donut op het oppervlak van de Maan.
Het testen van Einsteins theorie.
Zoals eerder al vermeld zijn theoretische fysici 
er van overtuigd dat Einstein geen volledige beschrijving van de zwaartekracht heeft gegeven. Dit heeft te maken met het feit dat Algemene Relativiteit niet goed samengaat met een van de andere pijlers van de fysica: kwantummechanica. Dit is een theorie die de natuur beschrijft op de allerkleinste schalen. Reeds in de vorige eeuw hebben wetenschappers beide theorieën proberen te verenigen. Snaartheorie (string theory) is het bekendste voorbeeld van deze pogingen. Er is echter nog geen experimentele bevestiging van deze theorie, en dus tasten theoretici nog altijd in het duister.
Bijgevolg gaan fysici tegenwoordig op zoek naar fenomenen waar AR foute voorspellingen geeft. Er wordt verwacht dat zulke problemen onder andere zullen opduiken bij zwarte gaten. Om hier een idee van te krijgen heb ik in mijn thesis onderzocht hoe foto’s van zwarte gaten ons kunnen vertellen waar het misloopt met AR. Ik heb bestudeerd hoe het licht wordt afgebogen rond 2 modellen van zwarte gaten die voorkomen in uitbreidingen van Einsteins theorie. Als het licht op een andere manier wordt afgebogen dan AR voorspelt, moet dit zichtbaar zijn in gedetailleerde foto’s die (een verbeterde versie van) de EHT zou kunnen produceren. Voor beide zwarte gaten ben ik tot concrete voorspellingen gekomen, die met de voorspellingen van AR vergeleken kunnen worden. Het resultaat is dat het inderdaad mogelijk is om de verschillende types zwarte gaten te onderscheiden van elkaar op basis van het licht dat we zien op de foto’s. Verder is de methode die ik heb gebruikt ook nog uit te breiden naar andere modellen voor zwarte gaten.
Momenteel zijn de foto’s van de EHT nog niet gedetailleerd genoeg om afwijkingen van de voorspellingen van AR te zien, maar er zijn verschillende projecten aan de gang om foto’s te maken met hogere resolutie, waar mijn voorspellingen dan mee vergeleken kunnen worden. Zo komen we mogelijks in de toekomst tot een theorie die nog mooier is dan Algemene Relativiteit, en een correcter beeld geeft van ons spectaculaire Heelal.
[1] R Abuter, N Aimar, A Amorim, J Ball, M Bauböck, JP Berger, H Bonnet, G Bour-
darot, W Brandner, V Cardoso, et al. Mass distribution in the Galactic Center based
on interferometric astrometry of multiple stellar orbits. Astronomy & Astrophysics,
657:L12, 2022.
[2] Farruh Atamurotov, Ahmadjon Abdujabbarov, and Bobomurat Ahmedov. Shadow
of rotating non-Kerr black hole. Physical Review D, 88(6):064004, 2013.
[3] Fabio Bacchini, Daniel R Mayerson, Bart Ripperda, Jordy Davelaar, Héctor Olivares,
Thomas Hertog, and Bert Vercnocke. Fuzzball shadows: Emergent horizons from
microstructure. Physical review letters, 127(17):171601, 2021.
[4] Fabio Bacchini, Bart Ripperda, Alexander Yuran Chen, and Lorenzo Sironi. Gen-
eralized, energy-conserving numerical simulations of particles in general relativity. I.
Time-like and null geodesics. The Astrophysical Journal Supplement Series, 237(1):6,
2018.
[5] Ibrahima Bah, Iosif Bena, Pierre Heidmann, Yixuan Li, and Daniel R Mayerson.
Gravitational footprints of black holes and their microstate geometries. Journal of
High Energy Physics, 2021(10):1–49, 2021.
[6] James M Bardeen. Timelike and null geodesics in the Kerr metric. Black holes, 215,
1973.
[7] James M Bardeen, William H Press, and Saul A Teukolsky. Rotating black holes:
locally nonrotating frames, energy extraction, and scalar synchrotron radiation. The
Astrophysical Journal, 178:347–370, 1972.
[8] Jacob D Bekenstein. Black holes and entropy. In JACOB BEKENSTEIN: The
Conservative Revolutionary, pages 307–320. World Scientific, 2020.
[9] Jacob D Bekenstein. Generalized second law of thermodynamics in black-hole physics.
In JACOB BEKENSTEIN: The Conservative Revolutionary, pages 321–329. World
Scientific, 2020.
[10] Iosif Bena, Gianguido Dall’Agata, Stefano Giusto, Clement Ruef, and Nicholas P
Warner. Non-BPS black rings and black holes in Taub-NUT. Journal of High Energy
Physics, 2009(06):015, 2009.
[11] Andy Bohn, William Throwe, François Hébert, Katherine Henriksson, Darius Bunan-
dar, Mark A Scheel, and Nicholas W Taylor. What does a binary black hole merger
look like? Classical and Quantum Gravity, 32(6):065002, 2015.
[12] Charles Thomas Bolton. Identification of Cygnus X-1 with HDE 226868. Nature,
235(5336):271–273, 1972.
[13] Raphael Bousso. The holographic principle. Reviews of Modern Physics, 74(3):825,
2002.
[14] Thomas Bronzwaer, Jordy Davelaar, Ziri Younsi, Monika Mościbrodzka, Heino Fal-
cke, Michael Kramer, and Luciano Rezzolla. RAPTOR-I. Time-dependent radiative
transfer in arbitrary spacetimes. Astronomy & Astrophysics, 613:A2, 2018.
[15] Thomas Bronzwaer, Ziri Younsi, Jordy Davelaar, and Heino Falcke. RAPTOR-
II. Polarized radiative transfer in curved spacetime. Astronomy & Astrophysics,
641:A126, 2020.
[16] Vitor Cardoso, Alex S. Miranda, Emanuele Berti, Helvi Witek, and Vilson T.
Zanchin. Geodesic stability, Lyapunov exponents, and quasinormal modes. Phys-
ical Review D, 79(6), mar 2009.
[17] Vitor Cardoso and Paolo Pani. Testing the nature of dark compact objects: a status
report. Living Reviews in Relativity, 22(1):1–104, 2019.
[18] Sean M Carroll. Spacetime and geometry. Cambridge University Press, 2019.
[19] Brandon Carter. Global structure of the Kerr family of gravitational fields. Physical
Review, 174(5):1559, 1968.
[20] The Event Horizon Telescope Collaboration. First M87 Event Horizon Telescope
Results. I. The Shadow of the Supermassive Black Hole. The Astrophysical Journal
Letters, 875(1):L1, April 2019.
[21] The Event Horizon Telescope Collaboration. First M87 Event Horizon Telescope
Results. II. Array and Instrumentation. The Astrophysical Journal Letters, 875(1):L2,
April 2019.
[22] The Event Horizon Telescope Collaboration. First M87 Event Horizon Telescope
Results. III. data processing and calibration. ApJL, 875:3, 2019.
[23] The Event Horizon Telescope Collaboration. First M87 Event Horizon Telescope
Results. IV. Imaging the Central Supermassive Black Hole. The Astrophysical Journal
Letters, 875(1):L4, April 2019.
[24] The Event Horizon Telescope Collaboration. First M87 Event Horizon Telescope
Results. V. Physical Origin of the Asymmetric Ring. The Astrophysical Journal
Letters, 875(1):L5, April 2019.
[25] The Event Horizon Telescope Collaboration. First M87 Event Horizon Telescope
Results. VI. The Shadow and Mass of the Central Black Hole. The Astrophysical
Journal Letters, 875(1):L6, April 2019.
[26] The Event Horizon Telescope Collaboration. First M87 Event Horizon Telescope
Results. VII. polarization of the ring. ApJL, 910(L12):48, 2021.
[27] The Event Horizon Telescope Collaboration. First M87 Event Horizon Telescope
Results. VIII. magnetic field structure near the event horizon. ApJL, 910(L13):43,
2021.
[28] The Event Horizon Telescope Collaboration. First Sagittarius A* Event Horizon
Telescope Results. I. the shadow of the supermassive black hole in the center of the
Milky Way. The Astrophysical Journal Letters, 930(L12), 2022.
[29] The Event Horizon Telescope Collaboration. First Sagittarius A* Event Horizon
Telescope Results. II. EHT and multiwavelength observations, data processing, and
calibration. The Astrophysical Journal Letters, 930(L13), 2022.
[30] The Event Horizon Telescope Collaboration. First Sagittarius A* Event Horizon
Telescope Results. III. imaging of the Galactic Center supermassive black hole. The
Astrophysical Journal Letters, 930(L14), 2022.
[31] The Event Horizon Telescope Collaboration. First Sagittarius A* Event Horizon Tele-
scope Results. IV. variability, morphology, and black hole mass. The Astrophysical
Journal Letters, 930(L15), 2022.
[32] The Event Horizon Telescope Collaboration. First Sagittarius A* Event Horizon
Telescope Results. V. testing astrophysical models of the Galactic Center black hole.
The Astrophysical Journal Letters, 930(L16), 2022.
[33] The Event Horizon Telescope Collaboration. First Sagittarius A* Event Horizon
Telescope Results. VI. testing the black hole metric. The Astrophysical Journal
Letters, 930(L17), 2022.
[34] Nathan A Collins and Scott A Hughes. Towards a formalism for mapping the space-
times of massive compact objects: Bumpy black holes and their orbits. Physical
Review D, 69(12):124022, 2004.
[35] Gastón Creci, Stefan Vandoren, and Helvi Witek. Evolution of black hole shadows
from superradiance. Physical Review D, 101(12):124051, 2020.
[36] Pedro VP Cunha and Carlos AR Herdeiro. Shadows and strong gravitational lensing:
a brief review. General Relativity and Gravitation, 50(4):1–27, 2018.
[37] Pedro VP Cunha, Carlos AR Herdeiro, and Eugen Radu. Isolated black holes without
Z2 isometry. Physical Review D, 98(10):104060, 2018.
[38] A De Vries. The apparent shape of a rotating charged black hole, closed photon
orbits and the bifurcation set A4. Classical and Quantum Gravity, 17(1):123, 2000.
[39] Frank Watson Dyson, Arthur Stanley Eddington, and Charles Davidson. IX. a deter-
mination of the deflection of light by the Sun’s gravitational field, from observations
made at the total eclipse of May 29, 1919. Philosophical Transactions of the Royal
Society of London. Series A, Containing Papers of a Mathematical or Physical Char-
acter, 220(571-581):291–333, 1920.
[40] A. Eckart and R. Genzel. Stellar proper motions in the central 0.1 pc of the Galaxy.
Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 284(3):576–598, January 1997.
[41] Albert Einstein. Die Feldgleichungen der Gravitation. Sitzungsberichte der Königlich
Preußischen Akademie der Wissenschaften (Berlin, pages 844–847, January 1915.
[42] Daniel Z Freedman and Antoine Van Proeyen. Supergravity. Cambridge university
press, 2012.
[43] Jonathan R Gair, Chao Li, and Ilya Mandel. Observable properties of orbits in exact
bumpy spacetimes. Physical Review D, 77(2):024035, 2008.
[44] Anton Galajinsky and Kirill Orekhov. N= 2 superparticle near horizon of extreme
Kerr-Newman-AdS-dS black hole. Nuclear Physics B, 850(2):339–348, 2011.
[45] Karl Gebhardt, Joshua Adams, Douglas Richstone, Tod R Lauer, SM Faber, Kayhan
Gültekin, Jeremy Murphy, and Scott Tremaine. The black hole mass in M87 from
Gemini/NIFS adaptive optics observations. The Astrophysical Journal, 729(2):119,
2011.
[46] A. M. Ghez, B. L. Klein, M. Morris, and E. E. Becklin. High Proper-Motion Stars
in the Vicinity of Sagittarius A*: Evidence for a Supermassive Black Hole at the
Center of Our Galaxy. The Astrophysical Journal, 509(2):678–686, December 1998.
[47] Kevin Goldstein and Stefanos Katmadas. Almost-BPS black holes. Journal of High
Energy Physics, 2009(05):058–058, may 2009.
[48] Samuel E Gralla. Can the EHT M87 results be used to test general relativity?
Physical Review D, 103(2):024023, 2021.
[49] Samuel E Gralla, Daniel E Holz, and Robert M Wald. Black hole shadows, photon
rings, and lensing rings. Physical Review D, 100(2):024018, 2019.
[50] Samuel E Gralla and Alexandru Lupsasca. Lensing by Kerr black holes. Physical
Review D, 101(4):044031, 2020.
[51] Samuel E Gralla and Alexandru Lupsasca. Null geodesics of the Kerr exterior. Phys-
ical Review D, 101(4):044032, 2020.
[52] Samuel E Gralla and Alexandru Lupsasca. Observable shape of black hole photon
rings. Physical Review D, 102(12):124003, 2020.
[53] Samuel E Gralla, Alexandru Lupsasca, and Daniel P Marrone. The shape of the black
hole photon ring: A precise test of strong-field general relativity. Physical Review D,
102(12):124004, 2020.
[54] Shahar Hadar, Michael D Johnson, Alexandru Lupsasca, and George N Wong. Pho-
ton ring autocorrelations. Physical Review D, 103(10):104038, 2021.
[55] Daniel Harlow. Jerusalem lectures on black holes and quantum information. Reviews
of Modern Physics, 88(1):015002, 2016.
[56] James B Hartle. Gravity: an introduction to Einstein’s general relativity, 2003.
[57] Stephen W Hawking. Particle creation by black holes. In Euclidean quantum gravity,
pages 167–188. World Scientific, 1975.
[58] Stephen W Hawking. Breakdown of predictability in gravitational collapse. Physical
Review D, 14(10):2460, 1976.
[59] Gerard’T Hooft. Dimensional reduction in quantum gravity. arXiv preprint gr-
qc/9310026, 1993.
[60] Tim Johannsen. Photon rings around Kerr and Kerr-like black holes. The Astro-
physical Journal, 777(2):170, 2013.
[61] Tim Johannsen. Regular black hole metric with three constants of motion. Physical
Review D, 88(4):044002, 2013.
[62] Tim Johannsen. Systematic study of event horizons and pathologies of parametrically
deformed Kerr spacetimes. Physical Review D, 87(12):124017, 2013.
[63] Tim Johannsen and Dimitrios Psaltis. Metric for rapidly spinning black holes suitable
for strong-field tests of the no-hair theorem. Physical Review D, 83(12):124015, 2011.
[64] Michael D Johnson, Alexandru Lupsasca, Andrew Strominger, George N Wong, Sha-
har Hadar, Daniel Kapec, Ramesh Narayan, Andrew Chael, Charles F Gammie,
Peter Galison, et al. Universal interferometric signatures of a black hole’s photon
ring. Science advances, 6(12):eaaz1310, 2020.
[65] Haroldo CD Lima Junior, Luı́s CB Crispino, Pedro VP Cunha, and Carlos AR
Herdeiro. Can different black holes cast the same shadow? Physical Review D,
103(8):084040, 2021.
[66] Daniel Kapec and Alexandru Lupsasca. Particle motion near high-spin black holes.
Classical and Quantum Gravity, 37(1):015006, 2019.
[67] Roy P. Kerr. Gravitational Field of a Spinning Mass as an Example of Algebraically
Special Metrics. Physical Review Letter, 11(5):237–238, September 1963.
[68] Finn Larsen and Cynthia Keeler. Separability of black holes in string theory. arXiv
preprint arXiv:1207.5928, 2012.
[69] LIGO Scientific Collaboration and Virgo Collaboration. Observation of Gravitational
Waves from a Binary Black Hole Merger. Physical Review Letters, 116(6):061102,
February 2016.
[70] J. P. Luminet. Image of a spherical black hole with thin accretion disk. Astronomy
and Astrophysics, 75:228–235, May 1979.
[71] VS Manko and ID Novikov. Generalizations of the Kerr and Kerr-Newman met-
rics possessing an arbitrary set of mass-multipole moments. Classical and Quantum
Gravity, 9(11):2477, 1992.
[72] Samir D Mathur. The information paradox: a pedagogical introduction. Classical
and Quantum Gravity, 26(22):224001, 2009.
[73] S.D. Mathur. The fuzzball proposal for black holes:
Fortschritte der Physik, 53(7-8):793–827, 2005.
an elementary review.
[74] Robert V Pound and Glen A Rebka Jr. Apparent weight of photons. Physical Review
Letters, 4(7):337, 1960.
[75] M. J. Reid, K. M. Menten, A. Brunthaler, X. W. Zheng, T. M. Dame, Y. Xu, J. Li,
N. Sakai, Y. Wu, K. Immer, B. Zhang, A. Sanna, L. Moscadelli, K. L. J. Rygl,
A. Bartkiewicz, B. Hu, L. H. Quiroga-Nuñez, and H. J. van Langevelde. Trigono-
metric Parallaxes of High-mass Star-forming Regions: Our View of the Milky Way.
The Astrophysical Journal, 885(2):131, November 2019.
[76] Rittick Roy, Askar B Abdikamalov, Dimitry Ayzenberg, Cosimo Bambi, Shafqat
Riaz, and Ashutosh Tripathi. Testing the weak-equivalence principle near black
holes. Physical Review D, 104(4):044001, 2021.
[77] K. Schwarzschild. On the Gravitational Field of a Mass Point According to Einstein’s
Theory. Abh. Konigl. Preuss. Akad. Wissenschaften Jahre 1906,92, Berlin,1907,
1916:189–196, January 1916.
[78] Rajibul Shaikh. Black hole shadow in a general rotating spacetime obtained through
Newman-Janis algorithm. Physical Review D, 100(2):024028, 2019.
[79] Andrew Strominger and Cumrun Vafa. Microscopic origin of the Bekenstein-Hawking
entropy. Physics Letters B, 379(1-4):99–104, 1996.
[80] Leonard Susskind. The world as a hologram. Journal of Mathematical Physics,
36(11):6377–6396, 1995.
[81] Edward Teo. Spherical photon orbits around a Kerr black hole. General Relativity
and Gravitation, 35(11):1909–1926, 2003.
[82] A Richard Thompson, James M Moran, and George W Swenson. Interferometry and
synthesis in radio astronomy. Springer Nature, 2017.
[83] Kip S Thorne, Charles W Misner, and John Archibald Wheeler. Gravitation. Freeman
San Francisco, 2000.
[84] Ashutosh Tripathi, Sourabh Nampalliwar, Askar B Abdikamalov, Dimitry Ayzen-
berg, Jiachen Jiang, and Cosimo Bambi. Testing the Kerr nature of the supermassive
black hole in ark 564. Physical Review D, 98(2):023018, 2018.
[85] Ashutosh Tripathi, Jinli Yan, Yuchan Yang, Yunfeng Yan, Marcus Garnham, Yu Yao,
Songcheng Li, Ziyu Ding, Askar B Abdikamalov, Dimitry Ayzenberg, et al. Con-
straints on the spacetime metric around seven “bare” AGNs using X-ray reflection
spectroscopy. The Astrophysical Journal, 874(2):135, 2019.
[86] AK Verma, Agnes Fienga, Jacques Laskar, Herve Manche, and Mickael Gastineau.
Use of messenger radioscience data to improve planetary ephemeris and to test gen-
eral relativity. Astronomy & Astrophysics, 561:A115, 2014.
[87] Sarah Vigeland, Nicolás Yunes, and Leo C Stein. Bumpy black holes in alternative
theories of gravity. Physical Review D, 83(10):104027, 2011.
[88] Sarah J Vigeland and Scott A Hughes. Spacetime and orbits of bumpy black holes.
Physical Review D, 81(2):024030, 2010.
[89] R. Craig Walker, Philip E. Hardee, Frederick B. Davies, Chun Ly, and William
Junor. The Structure and Dynamics of the Subparsec Jet in M87 Based on 50 VLBA
Observations over 17 Years at 43 GHz. The Astrophysical Journal, 855(2):128, March
2018.
[90] Jonelle L Walsh, Aaron J Barth, Luis C Ho, and Marc Sarzi. The M87 black hole mass
from gas-dynamical models of space telescope imaging spectrograph observations.
The Astrophysical Journal, 770(2):86, 2013.
[91] Mingzhi Wang, Songbai Chen, and Jiliang Jing. Chaotic shadow of a non-Kerr
rotating compact object with quadrupole mass moment. Physical Review D,
98(10):104040, 2018.
[92] B. Louise Webster and Paul Murdin. Cygnus X-1-a Spectroscopic Binary with a
Heavy Companion ? Nature, 235(5332):37–38, January 1972.
[93] Huan Yang, David A. Nichols, Fan Zhang, Aaron Zimmerman, Zhongyang Zhang,
and Yanbei Chen. Quasinormal-mode spectrum of Kerr black holes and its geometric
interpretation. Physical Review D, 86(10), nov 2012.