Over koeien en wiskundige functies bij Immanuel Kant

Levi
Haeck

In 1787 doet Immanuel Kant (1724-1804) de filosofische wereld daveren wanneer hij zegt “dat we (...) geen objecten als dingen op zichzelf kunnen kennen”. Tot dan toe was er namelijk geen discussie over dat we de wereld moesten proberen begrijpen zoals die op zichzelf is, met andere woorden zoals de wereld echt is. Maar Kant kwam tot het inzicht dat dit filosofische project ten dode opgeschreven was. Hij ontdekte namelijk dat alle objecten in de wereld op een heel specifieke wijze door ons worden geproduceerd. De objecten waarover wij kennis opdoen zijn dan geen dingen op zichzelf maar dingen voor ons. In zijn hoofdwerk, de Kritiek van de zuivere rede, legt hij uit hoe dit ‘productieproces’ werkt. Ten eerste is het zo dat de mens, aan de hand van zijn zintuigen, gewaarwordingen heeft. Maar, zegt Kant, deze gewaarwordingen zijn ‘blind’. Ten tweede is de mens ook nog een wezen dat kan denken. Dat betekent dat de mens over concepten beschikt. Maar, zegt Kant, deze concepten zijn op hun beurt ‘leeg’. Ten derde is het volgens Kant pas wanneer we onze blinde gewaarwordingen combineren met lege concepten dat we kennis kunnen hebben over objecten. Deze objecten kunnen zo inderdaad niet langer dingen op zichzelf zijn, precies omdat ze door onze eigen inbreng tot stand komen. 

 

Ik geef een voorbeeld. Er staan drie koeien in de wei. Wanneer ik alle concepten uit deze waarneming wegdenk, kan ik eigenlijk niet meer zeggen dat er drie koeien staan. Ik kan pas zeggen dat er drie koeien staan, wanneer ik het concept ‘kwantiteit’ combineer met mijn gewaarwording. Anderzijds is het concept kwantiteit zinloos wanneer ik geen gewaarwordingen heb: uit het concept kwantiteit volgt niet dat er drie koeien in de wei staan. Enkel de combinatie van gewaarwordingen met concepten kan daarvoor zorgen. Maar dat er effectief drie koeien in de wei staan heeft dus helemaal niets te maken met hoe de wereld op zichzelf zou zijn.  

 

Nu zegt Kant in de Kritiek van de zuivere rede dat concepten eigenlijk functies zijn. Deze opvallende uitspraak deed me nadenken over wat een functie kan zijn. Functies kennen we natuurlijk uit de lessen wiskunde, waar we leren dat twee waarden die op zich niets met elkaar gemeen hebben, bijv. tijd en afstand, toch met elkaar worden gecombineerd en dat hierdoor een nieuwe waarde kan ontstaan: snelheid. Net zoals bij Kant worden hier twee zaken die op zichzelf niet veel betekenen en eigenlijk niets met elkaar te maken hebben, met elkaar gecombineerd opdat er iets nieuws kan ontstaan. Op basis hiervan dook ik in de filosofische geschiedenis van functies en kwam ik terecht bij filosoof en wiskundige Gottlob Frege (1848-1925). Dat ik bij Frege terechtkom is op het eerste gezicht verwonderlijk, omdat hij totaal andere bekommernissen had dan Kant. Hij was vooral bezig met de verzoening van logica en wiskunde. Maar in zijn latere werken probeerde hij toch iets te zeggen over filosofie en dat deed hij precies vanuit zijn wiskundige achtergrond. Hij zei namelijk dat wiskundige functies, die zich met getallen bezighouden, even goed over objecten kunnen gaan. Frege vertrekt hiervoor van de formele notatie van een functie: 

 

y = F(x). 

 

y’ is de functiewaarde, ‘F( )’ is de functie zelf en ‘x’ is het argument. Hij geeft eerst enkele rekenkundige voorbeelden: 

 

2.1³ + 1

2.4³ + 4

2.5³ + 5

 

Hierover zegt Frege: ‘2x³ + x’ is de functie, terwijl ‘1’, ‘4’ en ‘5’ de argumenten zijn. De combinatie van een algemene functie met verschillende argumenten geeft verschillende functiewaarden. Nu zegt Frege dat dit ook van toepassing is op concepten: 

 

De hoofdstad van het Duitse Rijk

De hoofdstad van Engeland

De hoofdstad van Frankrijk

 

Hier is de functie ‘De hoofdstad van x’, de argumenten zijn ‘het Duitse Rijk’, ‘Engeland’ en ‘Frankrijk’, en de functiewaarden spreken wellicht voor zich. Belangrijk voor mijn onderzoek is echter Freges karakterisering van de dynamiek achter dit proces in zijn tekst Functie en Concept

 

Het argument behoort niet tot de functie, maar gaat samen met de functie om zo een volledig geheel te vormen; de functie zelf moet namelijk onvolledig genoemd worden; ze heeft behoefte om aangevuld te worden; ze is ‘onverzadigd’ (mijn vertaling). 

 

Dit is analoog aan het ‘productieproces’ onderliggend aan objecten. Kants concepten zijn inderdaad onvolledig en hebben een gewaarwording nodig om een geheel te vormen. Dit geheel noemen we de functiewaarde, of het object. Zo kwam ik tot een interpretatie van Kants stelling dat concepten eigenlijk functies zijn: 

 

F( )’ staat voor het concept,

‘x’ voor de gewaarwording en

‘y’ voor het ‘geproduceerde’ object.

 

Maar hoe kan een functie gecombineerd worden met een argument? Hoe kunnen concepten gecombineerd worden met gewaarwordingen? Het is opvallend dat Kant en Frege op die vraag een gelijkaardig antwoord geven. Ze zeggen allebei, in totaal verschillende contexten, dat de combinatie pas mogelijk is wanneer er iets is dat de functie en het argument, of het concept met de gewaarwording, effectief kan combineren. Zo zegt Kant in zijn eigen definitie van de functie:

 

Onder een functie versta ik de eenheid van de handeling waarmee verschillende voorstellingen onder een gemeenschappelijke voorstelling worden gebracht.

 

Functies, die op zich algemeen en abstract zijn, vereisen dus wel “de eenheid van een handeling”. Dit zegt iets over de positie waarin de mens zich bevindt. Een mens die objecten waarneemt is eigenlijk een “eenheid” die “handelt” en zo gewaarwordingen met concepten combineert. Omgekeerd toont dit ook dat elke particuliere mens geen kennis over net zo particuliere objecten kan hebben zonder te verwijzen naar algemene en abstracte concepten. We hebben nood aan abstractie. 



In een tijd waarin het (voor)al materialisme is dat de klok slaat, is dit een cruciaal inzicht. De objecten waarmee we elke dag te maken hebben, liggen helemaal niet zo vanzelfsprekend voor het grijpen. Het zijn niet de objecten die bepalen wat we kunnen weten over de wereld, zegt Kant, want eigenlijk zijn objecten net bepaalbaar door functies. Drie koeien in de wei hebben zo, veel meer dan we zouden willen toegeven, iets te maken met wiskundige functies.

Download scriptie (1.03 MB)
Universiteit of Hogeschool
Universiteit Gent
Thesis jaar
2019
Promotor(en)
Prof. dr. Gertrudis Van de Vijver