The reappearance of logic in Flemish secondary mathematics education

Alexander Holvoet
Persbericht

Op zoek naar logica in de nieuwe eindtermen

In de eindtermen legt het Vlaamse parlement vast wat wij als samenleving van onze middelbare scholieren als minimum verwachten. Op 1 september werden nieuwe eindtermen voor de tweede graad ingevoerd. Logica staat in de nieuwe eindtermen voor wiskunde gepland voor alle graden. Over de jaren zullen minstens 100 000 leerlingen ermee in contact komen. Maar wat houdt logica dan exact in? Wat is haar plaats in de eindtermen? En hoe geven leerkrachten er best les over? Een recent voltooide masterthesis trachtte deze vragen te beantwoorden.

 

Wanneer is iets logisch?

De masterthesis start met een uitgebreide literatuurstudie om de vraag over de betekenis van logica te beantwoorden. Er is daarbij aandacht voor zowel praktische als theoretische academische literatuur. Dit laatste wordt tot nog toe zelden gedaan in andere onderzoeken, wat tot onoplosbare discussies kan leiden als iemands aannames niet duidelijk zijn.

Ter illustratie daag ik u uit om deel te nemen aan onderstaande experiment over logisch redeneren. Dit werd voor de eerste keer uitgevoerd in 1966 door een psycholoog Wason. Toen koos slechts 10% van de deelnemers het juiste antwoord. Kan u het beter?

Op een tafel liggen vier kaarten. Iedere kaart heeft aan één kant een cijfer, en aan de andere kant een kleur. U kan enkel de bovenkant van de kaarten zien. Iemand beweert: “Als een kaart een getal kleiner dan 6 heeft op één kant, dan is hij rood op de andere kant.” Welke kaarten moet u omdraaien om zeker te zijn dat die uitspraak klopt?

image-20211003205946-1

De oplossing is dat u de kaart met een drie, en de kaart met de bruine kleur moet omdraaien. De kaart met een drie spreekt voor zich. U moet echter ook de kaart met een bruine kleur omdraaien. Stel u voor dat op de andere kant van die kaart een vier staat. Dan zou de regel niet kloppen, want dan zou de kaart rood en niet bruin moeten zijn. Om zeker te zijn dat de regel klopt, moet u dus de andere kant controleren.

Logica is de studie van het correct redeneren. In de logica kijkt men enkel naar de waarheid van uitspraken en wanneer je iets absoluut zeker kan besluiten uit een aanname. Het staat los van welke aannames of principes iemand heeft of in welke context iemand een uitspraak doet. Dit staat in contrast met hoe “logisch” in de omgangstaal gebruikt wordt, en daar vaak “vanzelfsprekend” of “iets waar ik mee akkoord ga” betekent. Dat je vrije meningsuiting hebt is voor de ene “logisch”, maar niet voor de andere. De oplossing van het experiment is echter absoluut zeker.

Als we onze leerlingen willen opleiden tot kritische burgers, dan is het interessant om hen te leren correct redeneren en dus logica te leren. Een leerling die volgens de logica denkt kan incorrecte redeneringen opsporen in andermans argumenten, zelfs bij redeneringen waar hij akkoord gaat met de conclusie. Hij kan incorrecte redeneringen herkennen in zijn eigen argumenten, en zo coherenter leren redevoeren. Hij hoeft geen inhoudelijk expert te zijn om iemand in een debat op een denkfout te betrappen. Het is met andere woorden duidelijk dat logica aanleren zijn nut heeft.

 

Een “logische” plaats in de eindtermen?

Na de uitgebreide literatuurstudie werd in de masterthesis de focus verlegd naar de eindtermen. De pedagogische keuzes in de eindtermen, werden geanalyseerd en extra onderbouwd of afgebroken aan de hand van de beschikbare literatuur.

De eindtermen wiskunde, en specifiek die eindtermen over logica, zijn in het algemeen in lijn met de bevindingen van specialisten in wiskundeonderwijs. Zij raden aan om logica aan te leren, binnen een begrijpelijke en voor de leerlingen relevante context. Dat is dus al duidelijk goed nieuws! Er zijn echter verschillende mindere elementen in de eindtermen voor logica.

Een goed voorbeeld is de verhouding van de eindtermen wiskunde tot internationale theoretische kaders voor wiskunde. U heeft mogelijks al gehoord van het PISA onderzoek (PISA staat voor “Programme for International Student Assessment”) waar Vlaanderen aan het dalen is in de ranglijst? Welnu, PISA ontwikkelde een theoretisch kader voor de ontwikkelaars van eindtermen wiskunde over heel de wereld. De nieuwe Vlaamse eindtermen zeggen gebaseerd te zijn op het theoretisch kader van PISA. Bij nadere studie van dat kader blijkt echter dat PISA aanraadt om logica niet op te nemen in de eindtermen voor wiskunde. Hoe kunnen we verwachten kwaliteitsvol onderwijs aan te bieden, als de eindtermen op los zand gebaseerd zijn?

De plus- en minpunten worden in detail behandeld in de masterthesis. Er worden ook verbeteringen voorgesteld, die eindtermontwikkelaars in de toekomst kunnen gebruiken.

 

Leerkrachten staan er alleen voor

Er zijn in de eindtermen over logica plaatsen waar een niet-“logische” keuze gemaakt werd, en zelfs duidelijke tekortkomingen. Er valt echter niets meer aan te veranderen: de nieuwe eindtermen zijn sinds september 2021 van kracht voor de tweede graad. Er is dus een risico dat deze tekortkomingen zullen doorvloeien naar de klaspraktijk en het kwaliteit van ons onderwijs. Deze thesis poogt dit echter tegen te gaan door extra ondersteuning voor wiskundeleerkrachten te voorzien. Dat is hoognodig, gezien er niet veel ondersteuning voor beschikbaar is, vele leerkrachten nooit (uitgebreid) over logica geleerd hebben en er duizenden leerlingen dit jaar les over moeten krijgen.

Het opgestelde lesmateriaal bevat een diverse selectie van zelf ontworpen lesmateriaal, gefundeerd op de beschikbare literatuur. Er wordt extra kadering over logica voor leerkrachten gegeven. Ook werd een innovatieve opstap voor logica opgesteld, die nog nooit eerder werd bestudeerd, en die toegankelijk is voor leerlingen met een beperkte wiskundeachtergrond.

 

Conclusie

Samenvattend toont deze thesis het nut van logica in het middelbaar onderwijs aan, en onderzoekt het haar betekenis in een literatuurstudie. De kritische analyse van de nieuwe eindtermen die daarna kwam, kunnen eindtermontwikkelaars gebruiken om mee te helpen aan kwalitatief onderwijs. Deze thesis droeg alleszins al zijn steentje bij door het ontwikkelen van extra ondersteuning voor wiskundeleerkrachten. Het is nu aan de Vlaamse regering om met deze thesis in de hand te beoordelen of de eindtermen over logica wel zo “logisch” zijn.

 

 

 

 

Bibliografie

za. Level 3A 4u. (2021). Plantyn. https://www.plantyn.com/secundair-onderwijs/wiskunde/level/materiaal

za. Level 3A 5u. (2021). Plantyn. https://www.plantyn.com/secundair-onderwijs/wiskunde/level/materiaal

za. Plantyn: Delta 3 lesmateriaal. (2021). Plantyn. https://www.plantyn.com/secundair-onderwijs/wiskunde/delta/materiaal

Agirdag, O., Ceulemans, C., Claes, S., Colpin, H., De Fraine, B., De Jaeger, K., De Smedt, B., Depaepe, F., Eggermont, S., Elen, J., Flamez, E., Gevaert, G., Ghesquière, P., Goossens, L., Henkens, B., Holz, O., Huygens, E., Kelchtermans, G., Masschelein, J., … Willems, K. (2019). Leren in maatschappelijk betrokken onderwijs: basisinzichten voor leraren nu en in de toekomst.

AHOVOKS. (2021). Onderwijsdoelen. https://onderwijsdoelen.be/

Allwein, G., & Barwise, J. (1996). Logical Reasoning with Diagrams. In Acta Universitatis Agriculturae et Silviculturae Mendelianae Brunensis (Vol. 53, Issue 9).

Anderson, L. W., & Krathwohl, D. R. (2001). A taxonomy for learning, teaching, and assessing: A revision of Bloom’s taxonomy of educational objectives.

Baker, A. (2017). The Philosophies of Mathematics. The American Mathematical Monthly, 124(2), 188–192.

Bakó, M. (2002). Why we need to teach logic and how can we teach it? Nternational Journal for Mathematics Teaching and Learning.

Bellens, K., Van den Noortgate, W., & Van Damme, J. (2020). The informed choice: mathematics textbook assessment in light of educational freedom, effectiveness, and improvement in primary education. School Effectiveness and School Improvement, 31(2), 192–211. https://doi.org/10.1080/09243453.2019.1642215

Bjarnadóttir, K. (2020). Book Review: Approaching the core of the modern mathematics movement. Dirk De Bock and Geert Vanpaemel (Eds.) (2019) Rods, sets and arrows – the rise and fall of modern mathematics in Belgium. Educational Studies in Mathematics, 104, 431–438. https://doi.org/10.1080/0046760x.2020.1819447

Blackburn, P., van Ditmarsch, H., Manzano, M., & Soler-Toscano, F. (Eds.). (2011). Tools for Teaching Logic. Third International Congress, TICTTL 2011. Springer.

Bogaert, P., Geeurickx, F., Muylaert, M., Van Nieuwenhuyze, R., & Willockx, E. (2021). VBTL: Logica en computationeel denken: D-finaliteit. Die Keure. https://www.diekeure.be/nl-be/educatief/secundair-onderwijs/vbtl/voor-l…

Bonatti, L. (1994). Why should we abandon the mental logic hypothesis? Cognition, 50(1–3), 17–39. https://doi.org/10.1016/0010-0277(94)90019-1

Bronkhorst, H. (2006). Logica in de bovenbouw van het vwo. Rijksuniversiteit Groningen.

Bronkhorst, H., Roorda, G., Suhre, C., & Goedhart, M. (2020). Logical Reasoning in Formal and Everyday Reasoning Tasks. International Journal of Science and Mathematics Education, 18(8), 1673–1694. https://doi.org/10.1007/s10763-019-10039-8

Cantor, G. (1874). On a Property of the Class of all Real Algebraic Numbers. Journal Für Die Reine Und Angewandte Mathematik, 77(1874), 258–262.

Carreyn, B., Steelandt, S., & Van De Weghe, C. (2021). Nando 3 D 4u: Omgaan met wiskundetaal. Die Keure. https://www.diekeure.be/nl-be/educatief/secundair-onderwijs/nando/een-k…

Carreyn, B., Steelandt, S., & Van De Weghe, C. (2021). Nando 3 D 5u: Omgaan met wiskundetaal. Die Keure. https://www.diekeure.be/nl-be/educatief/secundair-onderwijs/nando/een-k…

Cullen, S., Fan, J., Brugge, E. van der, & Elga, A. (2018). Improving analytical reasoning and argument understanding : a quasi-experimental fi eld study of argument visualization. Npj Science of Learning, April, 1–6. https://doi.org/10.1038/s41539-018-0038-5

Davis, J. P., & Hersh, R. (1981). The Mathematical Experience.

Dawkins, P. C. (2017). On the Importance of Set-Based Meanings for Categories and Connectives in Mathematical Logic. International Journal of Research in Undergraduate Mathematics Education, 3(3), 496–522. https://doi.org/10.1007/s40753-017-0055-4

Dawkins, P. C., & Cook, J. P. (2017). Guiding reinvention of conventional tools of mathematical logic: students’ reasoning about mathematical disjunctions. Educational Studies in Mathematics, 94(3), 241–256. https://doi.org/10.1007/s10649-016-9722-7

Dawkins, P. C., Inglis, M., & Wasserman, N. (2019). The use(s) of is in mathematics. Educational Studies in Mathematics, 100(2), 117–137. https://doi.org/10.1007/s10649-018-9868-6

De Bock, D., Janssens, D., & Verschaffel, L. (2004). Wiskundeonderwijs in Vlaanderen: van modern naar realistisch? In Op eigen vleugels: Liber amicorum prof. dr. An Hermans (pp. 157–169).

De Bock, D., & Vanpaemel, G. (2019). Rods , Sets and Arrows.

De Crock, P., Gryson, C., Taecke, D., Van der Auwera, T., & Wellecomme, S. (2021). Pienter 3 D. Van In. https://www.vanin.be/nl/secundair-onderwijs/wiskunde/pienter/pienter-gr…

De Naeghel, K. (2021). Deel V Logica. In Wiskunde in Zicht.

de Pater, W., & Vergauwen, R. (1993). Logica: formeel en informeel.

De Winne, I., Vandervieren, E., Baeyens, H., Milbou, L., Deprez, J., Moons, F., Cools, F., Van de Velde, D., Segers, L., Luyckx, W., & Broos, W. (2018). Infonamiddag Eindtermen Wiskunde. Universiteit Antwerpen. https://msevp.uantwerpen.be/Mediasite/Play/abcd9daf3d244e83a9602dbd14d1…

Dedekind, R. (1872). Stetigkeit und Irrationale Zahlen. https://doi.org/10.1007/978-3-663-19573-3_2

Duncan, S. C. (2011). Minecraft, Beyond Construction and Survival. In Carnegie Mellon University (pp. 1–22). https://stacks.stanford.edu/file/druid:qq694ht6771/WellPlayed-v1n1-11.p…

Durand-Guerrier, V. (1995). Logic and Mathematical Reasoning From a Didactical Point of View a Model-Theoretic Approach. 1–10. http://www.cs.cornell.edu/Info/People/gries/symposium/symp.htm

Durand-Guerrier, V. (2020). Logic in Mathematics Education. In Encyclopedia of Mathematics Education (pp. 478–481). https://doi.org/10.1007/978-3-030-15789-0_86

Durand-Guerrier, V. (2003). Which notion of implication is the right one? From logical considerations to a didactic perspective. Educational Studies in Mathematics, 53(1), 5–34. https://doi.org/10.1023/A:1024661004375

Durand-Guerrier, V. (2008). Truth versus validity in mathematical proof. ZDM - International Journal on Mathematics Education, 40(3), 373–384. https://doi.org/10.1007/s11858-008-0098-8

Durand-Guerrier, V., Boero, P., Douek, N., Samuels Epp, S., & Tanguay, D. (2012). Examining the Role of Logic in Teaching Proof. In Proof and Proving in Mathematics Education (pp. 369–389).

Eggermont, H., Holvoet, A., Moons, F., & Vanlommel, E. (2021). Logica in de tweede graad. Uitwiskeling, 37(3), 25–49.

Eggermont, H., Roelens, M., & Remels, V. (1985). Een bewijs leren beginnen. Uitwiskeling, 1(4), 10–39.

Ernest, P. (1998). Social Constructivism as a Philosophy of Mathematics. State University of New York Press.

Feferman, S. (2014). Logic, mathematics, and conceptual structuralism. The Metaphysics of Logic, 72–92. https://doi.org/10.1017/CBO9781139626279.006

Frege, G. (1884). Die Grundlagen der Arithmetik: eine logisch mathematische Untersuchung über den Begriff der Zahl.

Freudenthal, H. (1961). Exacte Logica. De Erven F. Bohn.

Freudenthal, H. (1966). The Language of Logic. Elsevier Ltd.

Freudenthal, H. (1985). Logica*. Nieuwe Wiskrant, 5(1).

Friend, M. (2014). Pluralism in Mathematics: A New Position in Philosophy of Mathematics (Vol. 32, Issue 1998). http://link.springer.com/10.1007/978-94-007-7058-4%5Cnhttp://www.spring…

Fu, T. (2016). Is Universal Logic ‘ universal ’ ? 2, 127–153.

Gheysens, L. (n.d.). Dossier 2 LOGICA. https://docplayer.nl/50930352-Dossier-2-logica-dr-luc-gheysens-fundamen…

GO! (2021). LEERPLAN TWEEDE GRAAD SECUNDAIR ONDERWIJS Basisvorming: doorstroom. https://pro.g-o.be/pedagogische-begeleiding-leerplannen-nascholing/leer…

Goffin, E., Van Dooren, W., Avau, I., Thomassen, I., Ameel, E., & Janssen, R. (2016). Hangen cijferprestaties van leerlingen in het basisonderwijs samen met het gebruikte wiskundehandboek? Een mixed methods analyse. Pedagogische Studien, 93(4), 206–222.

Goldblatt, R. (2003). Mathematical modal logic: A view of its evolution. Journal of Applied Logic, 1(5–6), 309–392. https://doi.org/10.1016/S1570-8683(03)00008-9

Guha, N. (2014). Teaching logic: Cracking the hard nut. Innovación Educativa, 14(64), 115–122.

Haeck, B. (2019, April 1). Kwaliteit Vlaams onderwijs daalt. De Tijd. https://www.tijd.be/politiek-economie/belgie/vlaanderen/kwaliteit-vlaam…

Heylen, J. (2019). Over wetenschappelijk denken. Acco.

Hofstede, H. (2021). WISKUNDE vanaf het voortgezet onderwijs. https://www.hhofstede.nl/modules/aaabasispagina.htm

Johnson-Laird, P. N., Byrne, R. M. J., & Schaeken, W. (1994). Why Models Rather Than Rules Give a Better Account of Propositional Reasoning: A Reply to Bonatti and to O’Brien, Braine, and Yang. Psychological Review, 101(4), 734–739. https://doi.org/10.1037/0033-295X.101.4.734

Katholiek Onderwijs Vlaanderen. (2021). Leerplan Wiskunde B - II - D. Llinkid. https://pro.katholiekonderwijs.vlaanderen/leerplan-II-Wis-d

Katholiek Onderwijs Vlaanderen. (2021). Leerplan Wiskunde B+C’ - II - D. Llinkid. https://pro.katholiekonderwijs.vlaanderen/leerplan-II-WisS’-d

Katholiek Onderwijs Vlaanderen. (2021). Leerplan Wiskunde C - II - D. Llinkid. https://pro.katholiekonderwijs.vlaanderen/leerplan-II-WisS-d/leerplan

Katholiek Onderwijs Vlaanderen. (2021). Leerplan Wiskunde VB - II - D. Llinkid. https://pro.katholiekonderwijs.vlaanderen/leerplan-II-WisVB-d

Katholiek Onderwijs Vlaanderen. (2021). Leerplan Wiskunde VB+C’ - II - D. Llinkid. https://leeromgeving.katholiekonderwijs.vlaanderen/slides/wiskunde-vb-c…

Kusch, M. (2020). Psychologism. In The Stanford Encyclopedia of Philosophy. https://plato.stanford.edu/archives/spr2020/entries/psychologism/

Loobuyck, P., Moons, F., De Wever, B., Van Nieuwenhuyse, K., Van den Branden, K., Vermeersch, L., Asard, H., Claes, E., Vanderborght, B., De Cock, M., Verbruggen, C., Van Maldeghem, H., Vlayen, K., De Meester, J., Nouwen, N., Neven, F., Catalano, V., Coenraets, J., Campens, C., … Hantson, P. (2020, June 24). Wat we in het onderwijs leren, dat leggen we beter niet vast in achterkamertjes. De Morgen. https://www.demorgen.be/meningen/wat-we-in-het-onderwijs-leren-dat-legg…

Luria, A. R. (1931). Psychological expedition to Central Asia. Science, 74, 383–384.

Manzano, M., Pérez Lancho, B., & Gil, A. (2006). Second International Congress on Tools for Teaching Logic.

Markovits, H. (1993). The Development of Conditional Reasoning: A Piagetian Reformulation of Mental Models Theory. Merrill-Palmer Quarterly, 39(1), 131–158.

Milbou, L. (2013). Naar een herintroductie van logica in het secundair onderwijs? Een onderwijsexperiment. Universiteit Antwerpen.

Moons, F. (2020). Mee met de nieuwe eindtermen 1A: Logica , Bewijzen & Verzamelingen. Navorming Wiskunde.

Norenzayan, A., Choi, I., & Peng, K. (2007). Perception and Cognition. In Hancbook of Cultural Psychology (pp. 569–594).

OECD. (2021). Pisa 2021 Mathematics Framework. https://pisa2021-maths.oecd.org/

Ott, N., Brünken, R., Vogel, M., & Malone, S. (2018). Multiple symbolic representations: The combination of formula and text supports problem solving in the mathematical field of propositional logic. Learning and Instruction, 58, 88–105. https://doi.org/10.1016/j.learninstruc.2018.04.010

Patton Burgess, J. (2009). Philosophical Logic. In PRINCETON UNIVERSITY PRESS. https://doi.org/10.4324/9781315832340

Peano, G. (1889). Arithmetices principia: Nova methodo exposita.

Polé, N. (2016). Een nieuwe aanpak van logica in het secundair onderwijs. KU Leuven.

Prayaga, L., Davis, J., Whiteside, A., & Riffle, A. (2016). An Exploration In The Use Of Minecraft To Teach Digital Logic To Secondary School Students. International Journal of Computer Science, Information Technology and Management, 2(2), 85–91. https://www.researchgate.net/publication/311535307_An_Exploration_In_Th…

Putnam, H. (1972). Philosophy of Logic. In Philosophies of the Sciences: A Guide. https://doi.org/10.1002/9781444315578.ch3

Roelens, M., & Tytgat, P. (2011). Logica. Uitwiskeling, 27(2), 9–34.

Roodhardt, A., & Doorman, M. (2015). Logisch redeneren. In SLO (nationaal expertisecentrum leerplanontwikkeling).

Rooms, B. (2019, December 3). Waarom scoren Vlaamse tieners slechter in PISA-onderzoek? “Er is te veel nonchalance in het onderwijs geslopen.” VrtNWS. https://www.vrt.be/vrtnws/nl/2019/12/03/vlaamse-leerlingen-scoren-minde…

Russell, B., & Whitehead, A. N. (1910). Principia Mathematica Vol. I.

Schaeken, W., De Vooght, G., Vandierendonck, A., & D’Ydewalle, G. (2000). Deductive Reasoning and Strategies. In LAWRENCE ERLBAUM ASSOCIATES. https://doi.org/10.4324/9781410603869

Shapiro, S. (2000). Thinking about Mathematics: The Philosophy of Mathematics. Oxford University Press.

Shiver, A. (2013). Propositional logic card games. Teaching Philosophy, 36(1), 51–58. https://doi.org/10.5840/teachphil20133614

Steinberger, F. (2020). The Normative Status of Logic. In The Stanford Encyclopedia of Philosophy. https://plato.stanford.edu/archives/win2020/entries/logic-normative/

Stenning, K., & van Lambalgen, M. (2004). A little logic goes a long way: Basing experiment on semantic theory in the cognitive science of conditional reasoning. Cognitive Science, 28(4), 481–529. https://doi.org/10.1016/j.cogsci.2004.02.002

Torbeyns, A. (2020, December 8). Leerlingen uit vierde leerjaar scoren slechter op wetenschappen en wiskunde. De Standaard. https://www.standaard.be/cnt/dmf20201208_93213815

Tydtgat, P., Bormans, M., Cambré, C., Cartuyvels, J., Decrock, J., De Witte, B., Elskens, C., & Snijers, A. (2021). Matrix Wiskunde 3.4-5 Leerwerkboek A Logica - Getallen - Algebra - Functies. Pelckmans Uitgeverij. https://www.pelckmans.be/matrix-wiskunde-3-leerwerkboek-4-5-uur-getalle…

Tydtgat, P., Bormans, M., Cambré, C., Cartuyvels, J., Decrock, J., De Witte, B., Elskens, C., & Snijers, A. (2021). Matrix Wiskunde 3.5 Leerwerkboek A Logica - Getallen - Algebra - Functies. Pelckmans Uitgeverij. https://www.pelckmans.be/matrix-wiskunde-3-leerwerkboek-5-uur-getallenl…

Van Bendegem, J. P. (2021). Book Review: Rods, sets and arrows: The rise and fall of modern mathematics in Belgium. Centaurus, 1–2. https://doi.org/10.1111/1600-0498.12376

van Bergen, R. (2014). Logica binnen wiskunde C. Nieuwe Wiskrant, 30(2).

Van Rossem, K. (2020). Filosofisch Gesprek. De basis. LannooCampus.

Vangelder, J. (2021, June 25). Luc Sels (rector KU Leuven): “Wij voelen de achteruitgang van de geletterdheid en gecijferdheid van onze jeugd.” Trends Knack. https://trends.knack.be/economie/beleid/luc-sels-rector-ku-leuven-wij-v…

Vanlommel, E. (2020). Introductiecursus logica.

Vanpaemel, G. (2019). Geschiedenis van de wiskunde (B-KUL-G0P59B). ECTS-Fiche. https://onderwijsaanbod.kuleuven.be/2019/syllabi/n/G0P59BN.htm

Verhulst, R., Van Roey, F., De Munter, K., & Bockstaele, P. (1972). Wis en kundig. 4 : Wiskunde voor het hoger secundair onderwijs. Antwerpen : Standaard.

Weyts, B., Van Twembeke, E., Deprez, J., Seghers, B., Moons, F., Goffa, I., Cools, F., Verbelen, M., Van de Sande, Y., & D’Haenens, C. (2020). 2e graad / Doorstroomfinaliteit - Digitale Roadshow: Eindtermen Wiskunde. VVWL. https://www.youtube.com/watch?v=hd3gSsE78Wg

Weyts, B., Van Twembeke, E., Deprez, J., Seghers, B., Moons, F., Goffa, I., Deses, D., Vanlommel, E., & Vercauteren, G. (2020). 3e graad / Doorstroomfinaliteit - Digitale Roadshow: Eindtermen Wiskunde. VVWL. https://www.youtube.com/watch?v=_Mjz5FZwf9c

Universiteit of Hogeschool
Master in de wiskunde
Publicatiejaar
2021
Promotor(en)
Prof. Johan Deprez
Kernwoorden
Share this on: