Emergent collective motion from local interactions

Corneel Casert
Collectieve beweging is een alomtegenwoordig en fascinerend fenomeen in de natuur en onze maatschappij. Een voorbeeld ervan is de vorming van zwermen bij vogels, waarbij groepen — in aantal soms groter dan tienduizenden — spectaculaire patronen creëren. Wat zijn nu net de noodzakelijke omstandigheden voor het ontstaan van zulke groepen?

Van zwermen spreeuwen naar fysica: een analyse van collectieve beweging

Collectieve beweging en fysica

Er bestaan nog talloze andere voorbeelden van collectieve beweging; waaronder massamigratie van insecten, het samenscholen van vissen, of de vorming van bacteriële kolonies. Ook bij de mens is het relevant: denk maar aan het gedrag van voetgangers op drukke straten, of de 'mosh pits' die zich vormen bij metalconcerten. Steeds opmerkelijk hierbij is de afwezigheid van een leider. De vogels in een zwerm komen collectief tot de beslissing om midden in hun vlucht van richting te veranderen, of om te landen voor voedsel — zonder centraal gecontroleerd te worden. Collectieve beweging treedt duidelijk op onder zeer uiteenlopende omstandigheden. De manier van communicatie tussen de leden, en de reden om liever als groep te bewegen — zoals bijvoorbeeld voor zelfverdediging of meer efficiënte exploratie — is ook erg divers.

Desalniettemin werd er vastgesteld dat collectieve beweging zich beperkt tot slechts een aantal patronen en het gedrag is universeel. Maar hoe komt zo een zwerm tot stand? Om dit te verklaren, wordt er gezocht naar een eenvoudig onderliggend mechanisme. Hiervoor komt een 'minimaal' model van pas. Dit is een model waarbij enkel de hoogstnodige elementen voor het ontwikkelen van collectieve beweging aanwezig zijn, en er verder zo algemeen mogelijk wordt gewerkt. Modelleringsmethoden uit de fysica zijn vaak zeer gepast om dit soort probleem aan te pakken. Hier wordt er gezocht naar de wetten die zorgen voor het collectieve gedrag dat zich vormt uit het gedrag van de individuen.

Het Vicsek model

Om het onderliggend mechanisme te bestuderen, ontwikkelde de Hongaarse fysicus Tamás Vicsek zo een twee decennia geleden het Vicsek model. Dit is nu nog steeds het meest populaire model om collectieve beweging te beschrijven. Vicsek slaagde erin de methodologie van statistische fysica toe te passen op collectieve beweging door bijvoorbeeld een zwerm vogels te veralgemenen tot een systeem van 'deeltjes'. Werken we verder met het voorbeeld van vogels, dan kunnen we veronderstellen dat elke vogel in een groep de bewegingsrichting van zijn naburen observeert. Er wordt dus enkel rekening gehouden met andere vogels binnen een bepaalde afstand, en niet met de hele groep. Elke vogel probeert zijn bewegingsrichting vervolgens aan te passen naar de gemiddelde richting van zijn naburen. Deze richting kan verkeerd berekend worden en zo kan er een fout gemaakt worden bij het kiezen van een nieuwe bewegingsoriëntatie. Als deze fout voldoende groot is, slagen de vogels er niet in om dezelfde richting uit te gaan en bewegen ze willekeurig door elkaar. Wanneer deze fout afneemt tot voldoende kleine waarden, zullen de vogels lokaal meer dezelfde richting uitgaan, maar op een globale schaal nog steeds willekeurig bewegen. Bij een welbepaald transitiepunt voor deze fout, kunnen grote zwermen zich plots vormen en ontstaat er collectieve beweging.  Dit is een typisch voorbeeld van een fasetransitie, waarbij het systeem overgaat van een wanordelijke naar een ordelijke fase.

Het Vicsek model wordt bestudeerd met computersimulaties, waarbij de beweging van honderdduizenden deeltjes wordt berekend. Het is ook getest aan experimentele data, zoals de zwermvorming bij spreeuwen. Een voorbeeld van een recent onderzochte toepassing is hoeveel mensen moeten afwijken van de globale bewegingsrichting om een mensenstroom op te breken.

In het oorspronkelijke Vicsek model wordt steeds uitgegaan van 'actieve' materie: deeltjes zijn hier in staat hun eigen beweging te ontwikkelen. Dit gebeurt door het converteren van energie in hun omgeving, zoals bijvoorbeeld het consumeren van voedsel. Recent werd de vraag gesteld of deze veronderstelling wel noodzakelijk is voor het ontstaan van collectieve beweging. Hiervoor werd een gelijkaardig model opgesteld met 'passieve' deeltjes, waar opnieuw een fasetransitie tussen wanorde en collectieve beweging werd teruggevonden (zie figuur 1 in bijlage).

Bevindingen

In mijn scriptie maakte ik gebruik van het Vicsek model voor passieve deeltjes. In een eerste deel werden de verschillende ruimtelijke configuraties voor dit model bestudeerd. Zo werd gevonden dat rond het transitiepunt de deeltjes zich bevinden in verschillende clusters. De distributie van de grootte van deze clusters volgt een machtsverband, zodat 'extreme' waarden hiervoor relatief vaak voorkomen (figuur 2). Deze clusters splitsen voortdurend op, of kunnen samensmelten tot een grotere cluster — net zoals scholen van vissen dit kunnen doen bij de aanwezigheid van een roofdier.

Verder werd de toename van entropie voor dit model bestudeerd. De entropie drukt de maat van wanorde in een systeem uit. De productie van entropie werd gemeten over de fasetransitie. Hierbij werd het effect bestudeerd van de beperking tot de dichtste naburen bij de interactie tussen de deeltjes, door de vergelijking te maken met een versie van dit model waarbij de interactie globaal is.

Exacte analytische berekeningen zijn vaak onhaalbaar voor problemen waarin een groot aantal deeltjes op een complexe manier met elkaar interageren,  zoals het geval is voor collectieve beweging. Enkel numerieke simulaties kunnen dan een oplossing bieden. Wil men toch analytische resultaten bekomen, dan moet er gebruik gemaakt worden van benaderingen. Een gemiddelde-veld benadering werd ten slotte opgesteld (figuur 3). Hierbij worden alle interacties tussen de naburen uitgemiddeld. Het komt er dan op neer dat een zwerm gezien wordt als een verzameling van identieke vogels met gemiddelde eigenschappen, en de diversiteit wordt niet volledig in rekening gebracht.

 

Bibliografie

[Ach99] Muktish Acharyya. “Nonequilibrium phase transition in the kinetic Ising model: Existence of a tricritical point and stochastic resonance”. In:Physical Review E 59.1 (1999), p. 218 (cit. on p. 25).

[Ald+07] Maximino Aldana, Victor Dossetti, Christian Huepe, VM Kenkre, and Hernán Larralde. “Phase transitions in systems of self-propelled agents and related network models”. In: Physical Review Letters 98.9 (2007), p. 095702 (cit. on p. 11).

[Ald+09] M Aldana, H Larralde, and B Vázquez. “On the emergence of collective order in swarming systems: a recent debate”. In: International Journal of Modern Physics B 23.18 (2009), pp. 3661–3685 (cit. on p. 14).

[Als+14] Jeff Alstott, Ed Bullmore, and Dietmar Plenz. “powerlaw: a Python package for analysis of heavy-tailed distributions”. In: PLOS ONE 9.1 (2014), e85777 (cit. on pp. 49, 87).

[BA08] Gabriel Baglietto and Ezequiel V Albano. “Finite-size scaling analysis and dynamic study of the critical behavior of a model for the collective displacement of self-driven individuals”. In: Physical Review E 78.2 (2008), p. 021125 (cit. on p. 11).

[BA09a] Gabriel Baglietto and Ezequiel V Albano. “Computer simulations of the collective displacement of self-propelled agents”. In: Computer Physics Communications 180.4 (2009), pp. 527–531 (cit. on p. 11).

[BA09b] Gabriel Baglietto and Ezequiel V Albano. “Nature of the order-disorder transition in the Vicsek model for the collective motion of self-propelled particles”. In: Physical Review E 80.5 (2009), p. 050103 (cit. on p. 11).

[Bal+08] Michele Ballerini, Nicola Cabibbo, Raphael Candelier, et al. “Interaction ruling animal collective behavior depends on topological rather than metric distance: Evidence from a field study”. In: Proceedings of the National Academy of Sciences 105.4 (2008), pp. 1232–1237 (cit. on p. 18).

[Ber+09] Eric Bertin, Michel Droz, and Guillaume Grégoire. “Hydrodynamic equations for self-propelled particles: microscopic derivation and stability analysis”. In: Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical 42.44 (2009), p. 445001 (cit. on p. 12).

[BG90] Jean-Philippe Bouchaud and Antoine Georges. “Anomalous diffusion in disordered media: statistical mechanisms, models and physical applications”.
In: Physics Reports 195.4-5 (1990), pp. 127–293 (cit. on
p. 37).

[Bin81] Kurt Binder. “Critical properties from Monte Carlo coarse graining and renormalization”. In: Physical Review Letters 47.9 (1981), p. 693 (cit. on p. 24).

[Bla+03] Daniel L Blair, T Neicu, and Arshad Kudrolli. “Vortices in vibrated granular rods”. In: Physical Review E 67.3 (2003), p. 031303 (cit. on p. 2).

[BY02] Yaneer Bar-Yam. “General features of complex systems”. In: Encyclopedia of Life Support Systems (EOLSS), UNESCO, EOLSS Publishers, Oxford, UK (2002) (cit. on p. 1).

[Cha+07] Hugues Chaté, Francesco Ginelli, and Guillaume Grégoire. “Comment on “phase transitions in systems of self-propelled agents and related network models””. In: Physical Review Letters 99.22 (2007), p. 229601 (cit. on pp. 10, 12).

[Cha+08a] Hugues Chaté, Francesco Ginelli, Guillaume Grégoire, and Franck Raynaud. “Collective motion of self-propelled particles interacting without cohesion”. In: Physical Review E 77.4 (2008), p. 046113 (cit. on pp. 11– 13, 30).

[Cha+08b] Hugues Chaté, Francesco Ginelli, Guillaume Grégoire, Fernando Peruani, and Franck Raynaud. “Modeling collective motion: variations on the Vicsek model”. In: The European Physical Journal B-Condensed Matter and Complex Systems 64.3 (2008), pp. 451–456 (cit. on pp. 14, 19).

[Cha01] Serena Chan. “Complex adaptive systems”. In: ESD. 83 Research Seminar in Engineering Systems. Vol. 31. 2001 (cit. on p. 1).

[Cla+09] Aaron Clauset, Cosma Rohilla Shalizi, and Mark EJ Newman. “Powerlaw distributions in empirical data”. In: SIAM Review 51.4 (2009), pp. 661–703 (cit. on p. 87).

[CM05] Kim Christensen and Nicholas R Moloney. Complexity and criticality. Vol. 1. Imperial College Press, 2005 (cit. on p. 50).

[Cou+05] Iain D Couzin, Jens Krause, Nigel R Franks, and Simon A Levin. “Effective leadership and decision-making in animal groups on the move”. In: Nature 433.7025 (2005), pp. 513–516 (cit. on p. 19).

[CR07] LaMar MD Guckenheimer JM Clewley RH Sherwood WE. PyDSTool, a software environment for dynamical systems modeling. 2007. URL: http://pydstool.sourceforge.net (cit. on p. 72).

[CV00] András Czirók and Tamás Vicsek. “Collective behavior of interacting self-propelled particles”. In: Physica A: Statistical Mechanics and its Applications 281.1 (2000), pp. 17–29 (cit. on p. 9).

[Czi+96] András Czirók, Eshel Ben-Jacob, Inon Cohen, and Tamás Vicsek. “Formation of complex bacterial colonies via self-generated vortices”. In: Physical Review E 54.2 (1996), p. 1791 (cit. on p. 15).

[DM+98] M De Menech, AL Stella, and C Tebaldi. “Rare events and breakdown of simple scaling in the Abelian sandpile model”. In: Physical Review E 58.3 (1998), R2677 (cit. on p. 50).

[DS15] Victor Dossetti and Francisco J Sevilla. “Emergence of collective motion in a model of interacting Brownian particles”. In: Physical Review Letters 115.5 (2015), p. 058301 (cit. on pp. 22, 26, 30, 41, 53, 77, 78).

[Erm02] Bard Ermentrout. Simulating, analyzing, and animating dynamical systems: a guide to XPPAUT for researchers and students. SIAM, 2002 (cit. on p. 72).

[GC04] Guillaume Grégoire and Hugues Chaté. “Onset of collective and cohesive motion”. In: Physical Review Letters 92.2 (2004), p. 025702 (cit. on pp. 10, 11, 15, 17).

[GC10] Francesco Ginelli and Hugues Chaté. “Relevance of metric-free interactions in flocking phenomena”. In: Physical Review Letters 105.16 (2010), p. 168103 (cit. on p. 18).

[Gin16] Francesco Ginelli. “The Physics of the Vicsek model”. In: The European Physical Journal Special Topics 225.11-12 (2016), pp. 2099–2117 (cit. on pp. 4, 8–10, 15, 29, 30).

[Gro+12] Robert Grossmann, Lutz Schimansky-Geier, and Pawel Romanczuk. “Active Brownian particles with velocity-alignment and active fluctuations”. In: New Journal of Physics 14.7 (2012), p. 073033 (cit. on p. 15).

[Gré+03] Guillaume Grégoire, Hugues Chaté, and Yuhai Tu. “Moving and staying together without a leader”. In: Physica D: Nonlinear Phenomena 181.3 (2003), pp. 157–170 (cit. on pp. 4, 11, 15, 17, 18).

[GT10] Harvey Gould and Jan Tobochnik. Statistical and thermal physics: with computer applications. Princeton University Press, 2010 (cit. on p. 47).

[GW97] Robert D Groot and Patrick B Warren. “Dissipative particle dynamics: Bridging the gap between atomistic and mesoscopic simulation”. In: The Journal of Chemical Physics 107.11 (1997), pp. 4423–4435 (cit. on p. 83).

[HA04] Cristián Huepe and Maximino Aldana. “Intermittency and clustering in a system of self-driven particles”. In: Physical Review Letters 92.16 (2004), p. 168701 (cit. on p. 48).

[Ibe+09] Michael Ibele, Thomas E Mallouk, and Ayusman Sen. “Schooling Behavior of Light-Powered Autonomous Micromotors in Water”. In: Angewandte Chemie International Edition 48.18 (2009), pp. 3308–3312 (cit. on p. 2).

[Jen03] Henrik Jeldtoft Jensen. “Lecture notes on Kosterlitz-Thouless transition in the XY model”. In: Imperial College Lectures (2003) (cit. on p. 9).

[Kur98] Jorge Kurchan. “Fluctuation theorem for stochastic dynamics”. In: Journal of Physics A: Mathematical and General 31.16 (1998), p. 3719 (cit. on p. 57).

[Kwo+16] Chulan Kwon, Joonhyun Yeo, Hyun Keun Lee, and Hyunggyu Park. “Unconventional entropy production in the presence of momentum-dependent forces”. In: Journal of the Korean Physical Society 68.5 (2016), pp. 633–638 (cit. on pp. 58, 59).

[MW66] N David Mermin and Herbert Wagner. “Absence of ferromagnetism or antiferromagnetism in one-or two-dimensional isotropic Heisenberg models”. In: Physical Review Letters 17.22 (1966), p. 1133 (cit. on p. 9).

[Nag+07] Máté Nagy, István Daruka, and Tamás Vicsek. “New aspects of the continuous phase transition in the scalar noise model (SNM) of collective motion”. In: Physica A: Statistical Mechanics and its Applications 373 (2007), pp. 445–454 (cit. on pp. 11, 37).

[Nag+15] Ken H Nagai, Yutaka Sumino, Raul Montagne, Igor S Aranson, and Hugues Chaté. “Collective motion of self-propelled particles with memory”. In: Physical Review Letters 114.16 (2015), p. 168001 (cit. on p. 21).

[Nar+17] Cesare Nardini, Étienne Fodor, Elsen Tjhung, et al. “Entropy production in field theories without time-reversal symmetry: quantifying the nonequilibrium character of active matter”. In: Physical Review X 7.2 (2017), p. 021007 (cit. on p. 79).

[NB99] MEJ Newman and GT Barkema. Monte Carlo Methods in Statistical Physics. Oxford University Press: New York, USA, 1999 (cit. on pp. 35, 86).

[New05] Mark EJ Newman. “Power laws, Pareto distributions and Zipf’s law”. In: Contemporary physics 46.5 (2005), pp. 23–351 (cit. on pp. 87, 88).

[RE10] Pawel Romanczuk and Udo Erdmann. “Collective motion of active Brownian particles in one dimension”. In: The European Physical Journal- Special Topics 187.1 (2010), pp. 127–134 (cit. on pp. 67, 69, 75).

[Rey87] Craig W Reynolds. “Flocks, herds and schools: A  distributed behavioral model”. In: ACM SIGGRAPH Computer Graphics 21.4 (1987), pp. 25–34 (cit. on p. 4).

[RH10] Clewley RH. PyCont. 2010. URL: http://www2.gsu.edu/~matrhc/ PyCont.html (cit. on p. 74).

[Ris84] Hannes Risken. “Fokker-planck equation”. In: The Fokker-Planck Equation. Springer, 1984, pp. 63–95 (cit. on p. 68).

[RL13] Maksym Romenskyy and Vladimir Lobaskin. “Statistical properties of swarms of self-propelled particles with repulsions across the order-disorder transition”. In: The European Physical Journal B 86.3 (2013), p. 91 (cit. on p. 45).

[Rom+12] Pawel Romanczuk, Markus Bär, Werner Ebeling, Benjamin Lindner, and Lutz Schimansky-Geier. “Active brownian particles”. In: The European Physical Journal Special Topics 202.1 (2012), pp. 1–162 (cit. on p. 16).

[RSG12] Pawel Romanczuk and Lutz Schimansky-Geier. “Mean-field theory of collective motion due to velocity alignment”. In: Ecological Complexity 10 (2012), pp. 83–92 (cit. on pp. 4, 67, 69, 70, 78).

[Sah+09] Arnab Saha, Sourabh Lahiri, and AM Jayannavar. “Entropy production theorems and some consequences”. In: Physical Review E 80.1 (2009), p. 011117 (cit. on p. 56).

[Say15] Hiroki Sayama. Introduction to the modeling and analysis of complex systems. Open SUNY Textbooks, 2015 (cit. on p. 1).

[Sei05] Udo Seifert. “Entropy production along a stochastic trajectory and an integral fluctuation theorem”. In: Physical Review Letters 95.4 (2005), p. 040602 (cit. on pp. 55–57).

[Sei08] Udo Seifert. “Stochastic thermodynamics: principles and perspectives”. In: The European Physical Journal B-Condensed Matter and Complex Systems 64.3 (2008), pp. 423–431 (cit. on pp. 56, 58).

[Sek98] Ken Sekimoto. “Langevin equation and thermodynamics”. In: Progress of Theoretical Physics Supplement 130 (1998), pp. 17–27 (cit. on p. 56).

[Sev+14] Francisco J Sevilla, Victor Dossetti, and Alexandro Heiblum-Robles. “Synchronization and collective motion of globally coupled Brownian particles”. In: Journal of Statistical Mechanics: Theory and Experiment 2014.12 (2014), P12025 (cit. on pp. 21, 22, 39, 64, 75).

[Shi+16] Pyoung-Seop Shim, Hyun-Myung Chun, and Jae Dong Noh. “Macroscopic time-reversal symmetry breaking at a nonequilibrium phase transition”. In: Physical Review E 93.1 (2016), p. 012113 (cit. on pp. 60, 62, 63).

[Shi+96] Naohiko Shimoyama, Ken Sugawara, Tsuyoshi Mizuguchi, Yoshinori Hayakawa, and Masaki Sano. “Collective motion in a system of motile elements”. In: Physical Review Letters 76.20 (1996), p. 3870 (cit. on p. 17).

[Sid+98] SW Sides, PA Rikvold, and MA Novotny. “Kinetic Ising model in an oscillating field: Finite-size scaling at the dynamic phase transition”. In: Physical Review Letters 81.4 (1998), p. 834 (cit. on p. 26).

[Sil+13] Jesse L Silverberg, Matthew Bierbaum, James P Sethna, and Itai Cohen. “Collective motion of humans in mosh and circle pits at heavy metal concerts”. In: Physical Review Letters 110.22 (2013), p. 228701 (cit. on p. 2).

[Sol+15] Alexandre P Solon, Hugues Chaté, and Julien Tailleur. “From phase to microphase separation in flocking models: The essential role of nonequilibrium fluctuations”. In: Physical Review Letters 114.6 (2015), p. 068101 (cit. on pp. 12, 13).

[Str11] Daniel Strömbom. “Collective motion from local attraction”. In: Journal of Theoretical Biology 283.1 (2011), pp. 145–151 (cit. on p. 5).

[Ton+05] John Toner, Yuhai Tu, and Sriram Ramaswamy. “Hydrodynamics and phases of flocks”. In: Annals of Physics 318.1 (2005), pp. 170–244 (cit. on p. 9).

[TT98] John Toner and Yuhai Tu. “Flocks, herds, and schools: A quantitative theory of flocking”. In: Physical review E 58.4 (1998), p. 4828 (cit. on p. 30).

[Vic+95] Tamás Vicsek, András Czirók, Eshel Ben-Jacob, Inon Cohen, and Ofer Shochet. “Novel type of phase transition in a system of self-driven particles”. In: Physical Review Letters 75.6 (1995), p. 1226 (cit. on pp. 5, 7, 11, 14).

[Vic08] Tamas Vicsek. “Universal patterns of collective motion from minimal models of flocking”. In: Self-Adaptive and Self-Organizing Systems, 2008. SASO’08. Second IEEE International Conference on. IEEE. 2008, pp. 3–11 (cit. on p. 3).

[VZ12] Tamás Vicsek and Anna Zafeiris. “Collective motion”. In: Physics Reports 517.3 (2012), pp. 71–140 (cit. on p. 3).

[Yeo+16] Joonhyun Yeo, Chulan Kwon, Hyun Keun Lee, and Hyunggyu Park. “Housekeeping entropy in continuous stochastic dynamics with odd-parity variables”. In: Journal of Statistical Mechanics: Theory and Experiment 2016.9 (2016), p. 093205 (cit. on pp. 59, 60).

[YM17] David Yllanes and M Cristina Marchetti. “How many dissenters does it take to disorder a flock?” In: arXiv preprint arXiv:1701.05477 (2017) (cit. on p. 19).
 

Universiteit of Hogeschool
Master of Science in de fysica en de sterrenkunde
Publicatiejaar
2017
Promotor(en)
Prof. Dr. Jan Ryckebusch
Share this on: