Arbeid onttrekken uit Veralgemeende Gibbs-ensembles door middel van Bragg-spectroscopie

Wouter Verstraelen
We bestuderen hoe, naar analogie met klassieke objecten als stoommachines, arbeid kan worden onttrokken uit zogeheten integreerbare kwantumsystemen. De specifieke opzet maakt gebruik van de techniek Bragg-spectroscopie, waarmee de toestanden van deeltjes kunnen worden gewijzigd door een ingenieus samenspel van laserlicht.

Stoommachines en de structuur van de kwantummechanica: een unieke combinatie van revoluties in twee verschillende eeuwen, gemaakt in een derde eeuw.

Zonder de industriële revolutie stonden we als maatschappij niet waar we nu staan. Punt. Het doorslaggevende element binnen deze industriële revolutie was de stoommachine, als eerste, door de mens gemaakte, motor. Deze stoommachine onderging vele gedaanten: de versies van Papin, Newcomen, Watt… telkens met het oog een zo goed mogelijk rendement te bekomen. Een hoog rendement wil in dit geval zeggen zo veel mogelijk arbeid te kunnen onttrekken (= nuttige energie creëren) bij een zo laag mogelijk brandstofverbruik, overeenkomstig met een zo klein mogelijk warmteverlies (=niet-nuttige, verloren, energie). Een voor de hand liggende vraag die de intelligente lezer zich misschien stelt is of dit rendement dan 100% zou kunnen worden…

Tweede hoodwet...

Dit is inderdaad ook een vraag waar enkele meer theoretisch aangelegde wetenschappers zich in de 19e eeuw over bogen (voetnoot: aan de andere kant kan het oplossen van deze kwestie ook meteen een antwoord bieden op de vele soorten perpetuum mobile’s, verwoede en diverse pogingen tot eeuwigdurende bewegingen van vele uitvinders-charlatans doorheen de eeuwen).
Het antwoord op bovengenoemde vraag blijkt negatief, onder meer Sadi Carnot wist een bovengrens op dit mogelijke rendement te kleven. Hierdoor wordt ook tegenwoordig een automotor nog warm na een lange rit. Deze resultaten werden dan ook gebruikt door Clausius en Lord Kelvin om hun oorspronkelijke versies van de tweede hoofdwet van de thermodynamica in te voeren…

Deze tweede hoofdwet geldt nog steeds als een van de belangrijkste thermodynamische resultaten. Hij heeft nog steeds geen echt eenduidige formulering. Toch is het misschien wel één van de meest tot de verbeelding sprekende wetten van de fysica, vaak opgevat als een ‘constant streven van de natuur naar wanorde’. Sommigen beweren zelfs dat het dankzij deze tweede hoofdwet is dat we een verschil tussen verleden en toekomst kunnen onderscheiden!

... of niet?

Er is echter een belangrijke ‘maar’ verbonden aan het verhaal van Clausius en Kelvin. In hun 19e -eeuwse beschrijving worden macroscopische systemen in evenwicht aangenomen. Dit wil bijvoorbeeld voor een gas zeggen dat de druk en temperatuur op elke plek gelijk zouden zijn. Oftewel: laat wat warm gas los in een hoekje van een ruimte gevuld met kouder gas, en na een tijdje zullen de gassen zich mengen over de hele ruimte, we moeten hiertoe enkel voldoende wachten. Dit is wat onze menselijke intuïtie ons vertelt en wat de klassieke fysica ook voorspelt.

Volgens de wetten van de kwantummechanica daarentegen, blijkt dat sommige grote systemen ook na lang wachten helemaal niet in evenwicht terechtkomen. Het is alsof, in bovengenoemd voorbeeld, het warme gas in hetzelfde hoekje blijft rondhangen. Dit soort systemen, die niet naar evenwicht evolueren, noemt men ‘integreerbare’ kwantumsystemen. Het is de thermodynamica van deze integreerbare kwantumsystemen die ik in deze thesis heb bestudeerd. De term ‘Veralgemeend Gibbs-ensemble’ duidt dan op een specifieke verdelingsfunctie die de statistiek beschrijft van zo’n integreerbaar kwantumsysteem.

Eenvoudige opstelling, veel resultaten 

Zoals gebruikelijk in theoretische fysica werd vertrokken vanuit een zo eenvoudig mogelijk systeem waar toch zoveel mogelijk interessante resultaten uit vallen af te leiden. Zulk systeem werd gevonden in een ééndimensionaal rooster, een ‘lijn’ of ‘keten’ met deeltjes. Elk van deze deeltjes wordt gekenmerkt door twee getallen: de energie van het deeltje en de snelheid. Deze getallen zijn verbonden met elkaar: het is bijvoorbeeld onmogelijk de snelheid te veranderen en de energie ongewijzigd te laten of andersom.

Om arbeid te onttrekken uit deze keten moeten we de energie van alle deeltjes in de keten zo laag mogelijk maken. Totale energie is namelijk een behouden grootheid, dus energie die in een bepaalde vorm (arbeid) tevoorschijn komt, moet ergens anders (het systeem) verdwijnen. De voor de hand liggende zet om zoveel mogelijk arbeid te onttrekken zou dus zijn dat we alle deeltjes de laagst mogelijke energie geven. Dit blijkt volgens de wetten van de kwantummechanica echter niet mogelijk.

Wat wél kan volgens de kwantummechanica is de niveaus herschikken: als elk energieniveau waarin deeltjes zich kunnen bevinden een bepaald aantal deeltjes bevat, is het mogelijk elk van deze aantallen op zichzelf te behouden, maar wel elk bij een ander energieniveau te plaatsen (een hersortering).  Stel dat er pakweg zeven deeltjes energie ‘hoog’ hebben en drie deeltjes energie ‘laag’, kan dit kwantummechanisch omgezet worden naar een toestand waar drie deeltjes energie ‘hoog’ hebben en zeven deeltjes energie ‘laag’. Een toestand met tien deeltjes ‘laag’ en nul ‘hoog’ kan dan weer niet bereikt worden.

In deze thesis werd aangetoond hoe voor een grote deeltjesketen de beste hersortering kan worden bereikt door opeenvolgende verwisselingen van twee verschillende energieniveaus. Bovenstaand voorbeeld met drie en zeven deeltjes is een voorbeeld van zo’n verwisseling. Elk van deze verwisselingen zelf, kan dan uitgevoerd worden met Bragg-Spectroscopie.

Via Bragg-spectroscopie kunnen door een afgemeten samenspel van verschillende lasers de snelheden en energieën van de verschillende deeltjes worden veranderd. Bij elke toepassing van Bragg-spectroscopie treedt echter ook ‘collateral damage’ in de vorm van imperfecties op: effect op deeltjesniveaus waarvan het de bedoeling was ze onaangeroerd te laten tijdens de verwisseling. Deze imperfecties beperken de mogelijkheden tot het onttrekken van arbeid en moet dus zo klein mogelijk blijven.

Kwantumsysteem als batterij

Uit oplossing van de vergelijkingen, met de hand en met de hulp van een computer, blijkt dan dat inderdaad alle mogelijke arbeid kan worden onttrokken door middel van deze Bragg-spectroscopie, met een nauwkeurigheid die toeneemt als de Bragg-verwisselingen trager worden uitgevoerd. De imperfecties zijn dan minimaal.

Uit dit hele verhaal blijkt dat integreerbare kwantumsystemen gedrag vertonen dat traditioneel aan een batterij wordt toegedicht: energie is erin opgeslagen en ze blijft in die toestand wanneer we ze onaangeroerd laten. Wanneer gewenst kan die energie dan in de vorm van arbeid worden onttrokken en aangewend om iets mee te doen. Vanuit dit standpunt hebben we in deze thesis dus een eenvoudig speelgoedmodel van een batterij geconstrueerd vertrekkende van slecht algemene beschouwingen over de structuur van de kwantummechanica, die zonder twijfel één van de grootste revoluties van de 20e eeuw is.

Bibliografie

1A.Brunello, F.Dalfovo, L. Pitaevskii, S. Stringari en F. Zambelli, “Momentum
transferred to a trapped bose-einstein condensate by stimulated
light scattering”, Physical Review A 64 (2001).
2A. Allahverdyan en T. Nieuwenhuizen, “A mathematical theorem
as the basis for the second law: thomson’s formulation applied to
equilibrium”, Physica A 305, 542 (2002).
3A. Allahverdyan, R. Ballian en T. Nieuwenhuizen, “Maximal work
extraction from finite quantum systems”, Europhysics Letters 67,
565 (2004).
4O. Babelon, A short introduction to classical and quantum integrable
systems, LPTHE Coursenotes, http : / / www . lpthe . jussieu . fr /
~babelon/saclay2007.pdf, 2007.
5M. V. Berry, “Regular and irregular semiclassical wavefunctions”,
Journal of Physics A: Mathematical and General 10, 2083 (1977).
6S. Brush, Statistical physics and the atomic theory of matter, from boyle
and newton to landau and onsager, Princeton series in Physics (Princeton
University Press, 1983).
7L. Chierchia en J. Mather, “Kolmogorov-arnold-moser theory”, Scholarpedia
5.
8P. Chomaz, F. Gulminelli en O. Juillet, “Generalized gibbs ensembles
for time-dependent processes”, Annals of Physics 320 (2005).
9A. Cronin, J. Schmiedmayer en D. Pritchard, “Optics and interferometry
with atoms and molecules”, Reviews of modern physics 81,
1051 (2009).
10J. Dalibard, F. Gerbier, G. Juzeliunas en P. Ohberg, “Colloquium:
artificial gauge potentials for neutral atoms”, Reviews of Modern
Physics 83, 1523 (2011).
11L. Daston, “How probabilities came to be objective and subjective”,
Historia Mathematica 21, 330 (1994).
12J. M. Deutsch, “Quantum statistical mechanics in a closed system”,
Phys. Rev. A 43, 2046–2049 (1991).
13D. Egloff, O. Dahlsten, R. Renner en V. Vedal, “A measure of majorization
emerging from single-shot statistical mechanics”, New Journal
of Physics 17 (2015).
14M. D. Girardeau, “Relaxation in the localized magnetization in the
one-dimensional xy-model”, Physics Letters A 32 (1970).
15M. Hall, The theory of groups (Macmillan, 1959).

16C. Henley, “Fermion operators and hopping bands”, 2009.

17M. Hilbert en P. Lopez, “The world’s technological capacity to store,
communicate, and compute information”, Science 332 (2011).
18K. Huang, Statistical mechanics, second edition (John Wiley & Sons,
1987).
19E. T. Jaynes, “Information theory and statistical mechanics ii”, Phys.
Rev. 108, 171 (1957).
20E. T. Jaynes, “Information theory and statistical mechanics”, Phys.
Rev. 106, 620 (1957).
21A. Lenard, “Thermodynamical proof of the gibbs formula for elementary
quantum systems”, Journal of Statistical Physics 19, 575
(1978).
22E. Lieb en J.Yngvason, “The physics and mathematics of the second
law of thermodynamics”, Physics Reports 310, 1 –96 (1999).
23M.Greiner, O.Mandel, T. Esslinger, T. Haensch en I. Bloch, “Quantum
phase transition from a superfluid to a mott insulator in a gas
of ultracold atoms”, Nature 425 (2002).
24M.Horecki en J.Oppenheim, “Fundamental limitations for quantum
and nanoscale thermodynamics”, Nature Communications 4 (2013).
25A. W. Marshall, I. Olkin en B. C. Arnold, Inequalities: theory of majorization
and its applications, 2de ed., Springer Series in Statistics
(Springer-Verlag New York, 2011).
26C. Menotti, M. Kramer, L. Pitaevskii en S. Stringari, “Dynamic structure
factor of a bose-einstein condensate in a one-dimensional optical
lattice”, 67 (2003).
27D. Mermin, Qbism puts the scientist back into science, Nature Comment,
2014.
28I. Mueller, A history of thermodynamics: the doctrine of energy and entropy
(Springer, 2007).
29R. Nandkishore en D. Huse, “Many-body localization and thermalization
in quantum statistical mechanics”, Annual Review of Condensed
Matter Physics 6 (2015).
30M. Nielsen, “The fermionic canonical commutation relations and
the jordan-wigner transform”, 2005.
31J. Parrondo, J. Horowitz en T. Sagawa, “Thermodynamics of information”,
Nature Physics 11, 131 (2015).
32M. Perarnau-Llobet, A. Riera, R. Gallego, H. Wilming en J. Eisert,
“Work and entropy production in generalized gibbs ensembles”, ar-
Xiv:1512.03823v2, 2015.
33L. Pitaevskii en S. Stringari, Bose-einstein condensation, International
Series of Monographs on physics 116 (Oxford Science Publications,
2003).
Bibliografie 87
34A. Polkovnikov, K. Sengupta, A. Silva en M.Vengalattore, “Colloquium:
nonequilibrium dynamics of closed interacting quantum systems”,
Reviews of modern physics 83, 863 (2011).
35W. Pusz en S. L. Woronowicz, “Passive states and kms states for general
quantum systems”, Communications in Mathematical Physics
58, 273 (1978).
36G. O. R.D. Somma, Quantum quenching, annealing and computation,
1ste ed., Lecture Notes in Physics 802 (Springer-Verlag Berlin Heidelberg,
2010).
37F. Reif, Statistical physics, deel 5, Berkeley Physics Course (McGraw-
Hill book company, 1967).
38A. Rey, P. Blakie, G. Pupillo, C. Williams en C. Clark, “Bragg spectroscopy
of ultracold atoms loaded in an optical lattice”, Physical
Review A 72 (2005).
39M. Rigol, V. Dunjko, V. Yurovsky en M. Olshanii, “Relaxation in
a completely integrable many-body quantum system: an ab initio
study of the dynamics of the highly excited states of 1d lattice hardcore
bosons”, Physical Review Letters 98 (2007).
40M. Rigol, V. Dunjko en M. Olshanii, “Thermalization and its mechanism
for generic isolated quantum systems”, Nature 452, 854
(2008).
41J. Roßnagel, S. Dawkins, K. Tolazzi, O. Abah, E. Lutz, F. Schmidt-
Kaler en K. Singer, “A single-atom heat engine”, Science 352, 325–
329 (2016).
42V. Rousseau, D. Arovas, M. Rigol, F.Hebert, G. Batrouni en R. Scalettar,
“Exact study of the one-dimensional boson hubbard model
with a superlattice potential”, Physical Review B 72 (2006).
43S.Blanes, F. Casas, J. Oteo en J.Ros, “The magnus expansion and
some of its applications”, Physics Reports 470, 151 (2009).
44J. Sakurai en J. Napolitano, Modern quantum mechanics, second (Pearson,
2011).
45L. Santos, A. Polkovnikov en M. Rigol, “Entropy of isolated quantum
systems after a quench”, Physical Review Letters 107 (2011).
46D. Sels en M. Wouters, “Stationary ensemble approximations of dynamic
quantum states: optimizing the generalized gibbs ensemble”,
Phys. Rev. E 92 (2015).
47D. Sels en M.Wouters, “The second law in closed quantum systems:
extracting work from gge’s”, werknota, 2015.
48C. Shannon, “The mathematical theory of communication”, Bell System
Tech. J. 27, 379,623 (1948).
49L. Sklar, Physics and chance: philosophical issues in the foundations of
statistical mechanics (Cambridge University Press, 1993).
88 Bibliografie
50P. Skrzypczyk, A. Short en S. Popescu, “Work extraction and thermodynamics
for individual quantum systems”, Nature Communications
5 (2013).
51M. Srednicki, “Chaos and quantum thermalization”, Phys. Rev. E
50, 888–901 (1994).
52M. Srednicki, Quantum field theory (Cambridge University Press, 2006).
53J. Stenger, S. Inouye, A. Chikkatur, D. Stamper-Kurn, D. Pritchard
en W. Ketterle, “Bragg spectroscopy of a bose-einstein condensate”,
Physical Review Letters 82 (1999).
54A. Tridgell, “Efficient algorithms for sorting and synchronization”,
proefschrift (Australian National University).
55J. Uffink, “Bluff your way in the second law of thermodynamics”,
Studies in History and Philosophy of Science part B: Studies in History
and Philosophy of Modern Physics 32, 305 (2001).
56R. A. Wilson, Graphs, colourings and the four-colour theorem (Oxford
university press, 2002).
57A. Wright, “The physics of forgetting, thermodynamics of information
at ibm 1959-1982”, Perspectives on Science (2016).
58J. G. et al., Horizons technical report, version 3.75, ftp://ssd.jpl.
nasa.gov/pub/ssd/Horizons_doc.pdf (NASA Jet Propulsion Laboratory,
2013).
59faysou, How to order a list to match the order of another list?, http :
//mathematica.stackexchange.com/questions/100084/how- toorder-
a-list-to-match-the-order-of-another-list.