Genererende functie methode voor optieprijs geïnduceerde verdelingen

Nick Verhelst
Een andere kijk op de financiële markten:De genererende functie methode voor optieprijs geïnduceerde verdelingenNick Verhelst (Promotor: Prof. dr. Jacques Tempere)[i]Master in de fysica, Universiteit Antwerpen, Groenenborgerlaan 171, B-2020 Antwerpen(Datum: 4 augustus 2014)Algemeen zijn er twee manieren om naar de financiële markten te kijken. Aan de ene kant kan er gekeken worden naar de markten zelf. Aan de andere kant kan men ook kijken naar afgeleide producten (producten gebaseerd op de marktprijzen).

Genererende functie methode voor optieprijs geïnduceerde verdelingen

Een andere kijk op de financiële markten:

De genererende functie methode voor optieprijs geïnduceerde verdelingen

Nick Verhelst (Promotor: Prof. dr. Jacques Tempere)[i]Master in de fysica, Universiteit Antwerpen, Groenenborgerlaan 171, B-2020 Antwerpen(Datum: 4 augustus 2014)

Algemeen zijn er twee manieren om naar de financiële markten te kijken. Aan de ene kant kan er gekeken worden naar de markten zelf. Aan de andere kant kan men ook kijken naar afgeleide producten (producten gebaseerd op de marktprijzen). In de thesis getiteld “Genererende functie methode voor optieprijs geïnduceerde verdelingen” is een nieuwe methode afgeleid om naar de financiële markten te kijken door middel van zo'n afgeleid product. Deze nieuwe methode wordt in dit artikel besproken. Voor het effectieve rekenwerk is het altijd mogelijk om de thesis in te kijken. Vooraleer de nieuwe methode wordt besproken, wordt er eerst gekeken naar de financiële markten zelf. Daarnaast zullen ook enkele bestaande methoden kort geschetst worden.

Wat vertelt de markt ons ?Om de financiële markten te bestuderen kan men in eerste plaats steeds naar de markten zelf[1] kijken. Dit doet men door te kijken naar een tijdreeks, dit is een reeks van opeenvolgende waarden binnen een bepaalde tijdspanne. Een voorbeeld van zo'n tijdreeks is gegeven op figuur 1 (bijlage), waarin er een tijdreeks is gemaakt van dag op dag data van de S&P500-indexwaarden bij de sluiting van de markt.

Bij de analyse van een tijdreeks zal men proberen om de verschillende statistieken van de tijdsreeks vast te leggen. Op basis van de bekomen statistieken kan men, door middel van modellen, trachten te bepalen hoe de markt zal evolueren. De zo bekomen speculaties over de markt kunnen dan weer gebruikt worden om op de markt te spelen of om te werken met afgeleide producten. De markt van de afgeleide producten is een zeer uitgebreide markt[2].

Wat zijn opties ?Een optie[3] is een contract waarbij persoon A van persoon B het recht (niet de verplichting) krijgt om na een afgesproken periode een bepaald goed (onderliggende goed) te kopen of te verkopen voor een vastgestelde prijs. Als persoon A het recht krijgt om te kopen spreken we van een calloptie, bij het recht om te verkopen spreken we van een putoptie. Opties zijn een van de meest voorkomende afgeleide producten[4].

Een clichévoorbeeld van een calloptie is de vliegtuigmaatschappij die over twee maanden een voorraad kerosine wil inslaan. De vliegtuigmaatschappij kan dan een calloptie aangaan met als looptijd twee maanden aan een vastgestelde prijs. Als na twee maanden blijkt dat de prijs van de kerosine hoger is dan de vastgestelde prijs, is het voordeliger om de optie uit te voeren. De vliegtuigmaatschappij kan de kerosine dan aan de (goedkopere) vastgestelde prijs kopen. Op deze manier kan de vliegtuigmaatschappij zich via een calloptie beschermen tegen een plotse prijsstijging van kerosine.

Natuurlijk is dit voor persoon B die de optie schrijft geen voordelige situatie. Het scenario dat voor persoon A winst oplevert, zal voor persoon B verlies opleveren. Persoon B loopt bijgevolg risico op verlies. Om zich in te dekken tegen dit mogelijke verlies vraagt persoon B aan persoon A een optieprijs. Met de gevraagde optieprijs kan persoon B vervolgens zelf acties ondernemen om zijn mogelijk verlies in te perken. Een voorbeeld van zo'n optieprijs is gegeven op figuur 2 (bijlage).

Wat vertellen opties ons ?Hoe de optieprijs zich gedraagt als functie van de vastgestelde prijs hangt af van het gebruikte model voor de markt. Als de marktspelers een beurscrash verwachten zullen zij een ander model hanteren dan wanneer zij uit gaan van een stabiele beurs. Het is bijgevolg mogelijk om uit het gedrag van de marktspelers af te leiden hoe zij denken dat de markt zal evolueren. In tegenstelling tot de tijdreeksanalyse kan men hier op basis van marktgegevens kijken naar hoe de marktspelers verwachten dat de markt evolueert. Dit is anders dan het proberen voorspellen met modellen op basis van een tijdreeksanalyse.

In realiteit zal niet elke marktspeler exact hetzelfde model gebruiken. Dit heeft tot gevolg dat er een soort van ruis optreedt op de verschillende beschikbare optieprijzen.  Deze ruis, samen met het feit dat optieprijzen op de markt gestandaardiseerd zijn, levert problemen als men een analyse op de opties wil doorvoeren. Het probleem bij de conventionele methoden ligt in het feit dat deze gebruik maken van methoden met een fitprocedure of formules met een afgeleide van de optieprijs. De precisie van de afgeleiden en fitprocedures worden sterk beïnvloed door ruis en het feit dat de prijzen gestandaardiseerd zijn. Dikwijls zal men nog extra wiskundige trucs moeten aanwenden om de conventionele methoden succesvol toe te passen. Na het nodige rekenwerk vindt men de gewenste statistieken voor de financiële markt terug.

Bespreking van de nieuwe methodeDe nieuwe methode die in de thesis is uitgewerkt leidt tot formules met een integraal van de optieprijs wat deze nauwkeuriger maakt vergeleken met de conventionele methoden. Dankzij het gebruik van een integraal zal de ruis uitgemiddeld worden en zullen de gestandaardiseerde prijzen minder problemen opleveren. Naast een hogere precisie geeft de nieuwe methode ook meteen (zonder tussenstappen) de verschillende gewenste statistieken. Dit laatste zorgt ervoor dat de nieuwe methode ook nog eens sneller is dan de conventionele methoden.

 

[1] Een beursindex, valuta, de prijs van handelswaren, ...

[2] Om even wat cijfers te geven. De totaalwaarde van de markt van afgeleide producten bedraagt zo'n $ 700 triljoen (1018e). Het bruto wereldproduct bedraagt zo'n $ 72 triljoen. Dit wil zeggen dat er grofweg 10 keer meer geld zit in afgeleide producten dan dat we met de hele wereld zouden kunnen betalen.

(Bron: http://moneymorning.com/2011/10/12/).

[3] In de thesis wordt er alleen naar Europese opties gekeken.

[4] Voor de S&P500 kan je bijvoorbeeld opties vinden op: http://www.marketwatch.com/investing/index/spx/options.

 

[i] Universiteit Antwerpen, Faculteit Wetenschappen, Theorie van kwantumsystemen en complexe systemen

 

Bibliografie

[1] J. Tempere, Padintegralen voor optieprijzen, Universiteit Antwerpen, 2012.

[2] N. Verhelst, Econofysica: Windowed barrier options en het Limited growth model, Universiteit

Antwerpen, Wilrijk, 2012, TQC.

[3] J. A. Devreeze, Padintegraalbehandeling van Aziatische opties in het Black-Scholes model, Mas-

terthesis, Universiteit Antwerpen, 2009.

[4] C. W. Gardiner, Stochastic Methods, Springer-Verlag, 2009.

[5] L. Liang, O. S. Celis, D. Lemmens, J. Tempere, and A. Cuyt, .Determining and benchmarking risk

neutral distributions implied from option prices., Tech. Rep., Universiteit Antwerpen, 2012.

[6] D. Collins, .Watch out for those fat tails., Futures Magazine, April 2009.

[7] B. Keim, .Nanosecond trading could make markets go haywire., februari 2012, http://www.wired.

com/2012/02/high-speed-trading/.

[8] K. Kiyono, Z.R. Struzik, and Y. Yamamoto, .Criticality and phase transition in stock-price .uctu-

ations., Phys. Rev. Lett., vol. 96, pp. 068701, 2006.

[9] Y. Yu, .On normal veriance-mean mixtures., arXiv: 1106.2333v1, juni 2011.

[10] B. Castaign, Y. Gagne, and E. J. Hop.nger, .Velocity probability density functions of high reynolds

number turbulence., Physica D, vol. 46, pp. 177.200, 1990.

[11] B. Baaquie, Quantum Finance - Path Integrals and Hamiltonians for Options and Interest Rates,

Cambridge university press, 2004.

[12] K. K. Saebo, Pricing Exotic Options with the Normal Inverse Gaussian Market Model using Nu-

merical Path Integration, Norwegian University of Science and Technology, 2009.

[13] J. Figueroa-Lopez, S. R. Lancette, K. Lee, and Y. Mi, .Estimation of nig and vg models for high

frequency .nancial data., Tech. Rep., Departement of Statistics (Purdue University); Departement

of mathematics (University of Louisville) and Departement of .nancial engineering (Ajou University),

2011.

[14] J. Hull, FUNDAMENTALS OF FUTURES AND OPTIONS MARKETS - 6th edition, Pearson

Education, 2007.

[15] J. Hull, Options, Futures and Other Derivatives - 5th edition, Pearson Education, 2003.

[16] D. Lemmens, Option pricing; stochastic volatility, Lévy mmodel and Asian options, PhD thesis,

Universiteit Antwerpen, 2011.

[17] L. Liang, A physical approach to .nancial derivates: Pricing and the inverse pricing problem, PhD

thesis, Universiteit Antwerpen, 2012.

[18] R. N. Mantegna and H. E. Stanley, An introduction to Econophysics, Cambridge university press,

2007, ISBN-13: 9780521039871.

[19] R. Lowen, Analyse IV: Banach- en Hilbertruimten, Universiteit Antwerpen, academiejaar 2011-2012.

[20] P Cannarsa and T. D.Aprile, Lecture Notes on Measure Theory and Functional Analysis, Università

di Roma .Tor Vergata., academiejaar 2006-2007.

[21] D. A. McQuarrie, Statistical Mechanics, University Science Books, U.S., 2000.

[22] S. Van Aert, Kansrekenen en Statistiek, Universiteit Antwerpen, academiejaar 2010-2011.

[23] G. Loosveldt, C. Maes, and J. Welkenhuysen-Gybels, Basisconcepten van de beschrijvende statistiek,

Acco, 2008.

[24] M.R. Spiegel, J. Schiller, and R.A. Srinivasan, Probability and Statistics, McGraw-Hill, 2009.

[25] M. Abramowitz and I. A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, Dover Publications, 1972.

[26] F. Olver, D. Lozier, R. Boisvert, and C. Clark, NIST Handbook of Mathematical Functions, Cam-

bridge University Press, 2010.

[27] G. B. Arfken and H. J. Weber, Mathematical Methods for Physicists, Elsevier Academic Press, 2005.

Universiteit of Hogeschool
Master of Science in de fysica
Publicatiejaar
2014
Kernwoorden