Een beeld zegt meer dan duizend woorden
In beeldverwerking is een digitale afbeelding niets anders dan een rooster van pixels (lees: matrix). Met behulp van wiskundige methodes kunnen deze getallen aangepast worden zodat een nieuwe afbeelding verkregen wordt van hogere kwaliteit. Een mogelijke manier om dit te doen, is met behulp van partiële differentiaalvergelijkingen. Hierdoor kan een afbeelding die ruis bevat, gerestaureerd en zelfs verscherpt worden. Relevante toepassingen zijn te vinden in de medische beeldvorming. Voor bijvoorbeeld MRI, Echografie en CT scan afbeeldingen, kan aanwezige ruis het verschil maken tussen een vroege vaststelling van een medisch probleem of een verkeerde diagnose. Het correct wegfilteren van ruis op dergelijke beelden is dan ook ontzettend belangrijk.
Partiële differentiaalvergelijkingen
De wiskunde die gebruikt wordt, zijn dus partiële differentiaalvergelijkingen. Een (partiële) differentiaalvergelijking is een wiskundige relatie die een onbekende functie en zijn (partiële) afgeleiden bevat. Dergelijke vergelijkingen worden vaak gebruikt om fysische processen te modelleren. Een elementaire partiële differentiaalvergelijking is de warmtevergelijking. Deze vergelijking beschrijft de verandering van de warmte in een gebied, in functie van de tijd. De vergelijking moet gekoppeld worden aan een begintemperatuur en omgevingscondities. De temperatuur wijzigt vervolgens continu in de tijd, beschreven volgens de warmtevergelijking.
Wat gebeurt er nu als deze warmtevergelijking wordt toegepast op een afbeelding met ruis? Het resultaat is dat de afbeelding waziger wordt en de ruis bijgevolg vervaagt. Deze methode heeft als nadeel dat de randen/contouren van een afbeelding ook vervagen. Dit komt omdat de warmtevergelijking de afbeelding overal even sterk vervaagt. Ze houdt geen rekening met de structuur van de afbeelding. In de wiskunde noemen we de warmtevergelijking een lineaire diffusievergelijking. Om dit probleem op te lossen, moet overgestapt worden naar een zogenaamde niet-lineaire diffusievergelijking. Op deze manier kan er meer rekening gehouden met de structuur van de afbeelding. Hoe sterk de afbeelding vervaagd wordt, zal verschillend zijn voor elke positie op de afbeelding.
Wiskundige aanpak
De meest bekende niet-lineaire partiële differentiaalvergelijking in deze context, is ontworpen in de jaren negentig van de vorige eeuw. Ze kreeg de naam van haar uitvinders: de Perona-Malik (P-M) vergelijking. In deze scriptie werd de P-M vergelijking uitvoerig bestudeerd. Ten eerste werd een bestaande numerieke methode onderzocht om de vergelijking op te lossen. Om dit op een correcte en efficiënte wijze te doen, komt er al heel wat mooie wiskunde bij kijken (analyse en lineaire algebra). Vervolgens wordt er met een kritische blik naar de vergelijking gekeken. Een cruciale vraag is of er een unieke oplossing bestaat. Er kan echter niet bewezen worden dat de P-M vergelijking een unieke oplossing bezit. Hierdoor moet de vergelijking worden aangepast. Dit is niet vanzelfsprekend. We willen immers de eigenschappen van de originele vergelijking behouden! Ook hier is reeds een voorstel gedaan, ongeveer twee jaar na het beroemde artikel van Perona & Malik. Er werd een kleine regularisatie doorgevoerd in de originele P-M vergelijking. Van deze geregulariseerde vergelijking kan er bewezen worden dat ze een unieke oplossing heeft. De wiskunde hiervoor is zeker niet triviaal. Zo neemt het bewijzen van het bestaan en uniek zijn van een oplossing toch zo'n tiental bladzijden in beslag. Zelf heb ik dit (opnieuw) bewezen op basis van twee artikels. In wetenschappelijke artikels zijn tussenstappen zelden uitgewerkt. Ik heb in mijn scriptie het bewijs zo zorgvuldig mogelijk geleverd. Tevens heb ik ervoor gekozen om enkel lemma's en stellingen te gebruiken die ik reeds gezien had in mijn opleiding Wiskunde. Hierdoor was ik soms genoodzaakt om enkele lemma's/stellingen uit de artikels te vervangen. Het heeft dan ook een zekere voldoening als je uiteindelijk tot hetzelfde resultaat komt.
Praktisch
Leuk aan deze scriptie is dat je ziet wat er gebeurt. Het oplossen van de vergelijking werd door mezelf geschreven in een wiskundige programmeertaal. Belangrijk is dat dit op zo'n efficiënt mogelijke wijze gebeurt. Dit zorgt er voor dat de oplossing in een korte tijd kan berekend worden door het computerprogramma. Er is een levenswijsheid die zegt dat je partiële differentiaalvergelijking pas volledig kan doorgronden als je ze zelf eens met de computer hebt opgelost. Door de parameters van het model aan te passen zie je wat hun invloed is. Zo krijg je steeds een beter inzicht. Het toepassen op digitale afbeeldingen maakt het nog mooier. Je selecteert een afbeelding die van slechte kwaliteit is. Vervolgens laat je het programma erop los. Dit resulteert meestal in een betere afbeelding als output.
Toekomst
De resultaten van de P-M vergelijking zijn visueel indrukwekkend. Toch moet men steeds opzoek zijn naar betere, nog straffere resultaten. Stel je bijvoorbeeld afbeeldingen voor waarbij de ruis zodanig sterk is dat de originele afbeelding nog nauwelijks herkenbaar is. Het wordt dan een lastige taak om de afbeelding te correct te herstellen. Een relatief nieuw onderzoeksgebied zou zijn om fractionele afgeleiden te gebruiken. In het middelbaar zijn we gewoon om een functie een geheel aantal keer af te leiden. Fractionele afgeleiden laten toe om bijvoorbeeld een functie een halve keer af te leiden. Recente studies hebben al het succes aangetoond van fractionele afgeleiden in de beeldverwerking.
Deze nieuwe modellen kunnen wiskundig bestudeerd worden. Opnieuw kan worden nagedacht over een efficiënte implementatie. Tenslotte kunnen ze vergeleken worden met de klassieke modellen.
Deze scriptie is een uitstekende voorbereiding voor wie zich hierin verder wil verdiepen. Misschien red je er wel levens mee.
